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Krosecker: Beweis des Reeiprocitätsgesetzes für die quadratischen Reste. 533 
wird. Da aber »,— +ı und also gemäss der Definition von n,.v;: 
- NZ Vı 
ist, so kommt: 
(U) SEA ER a ER) te Een 
k 
wenn in der Summe rechts 
genommen wird. 
Setzt man, da , =, (mod. 4) ist, % =4& + 9%, so wird: 
NAHEN + IH, — 5) (mod. 8) (ron: 
wenn man hier über alle Werthe von k summirt und dann berück- 
siehtigt, dass ,—=o und 4, =m, — 9 ist, so kommt: 
N.-+ > Mhz F Sm 7. (mod. 8) (KERN 
oder: 
>= PR > N, (mod. 8) (BON 
k In 
wenn 2_,=ı genommen wird. An Stelle der Gleichung (VW) kann 
daher auch die Congruenz: 
(0) S=3(n_ 9% —%_,Y) (mod. 8) (k=o,12,0.. 0), 
z 
zur Bestimmung des Exponenten © in der Gleichung (N) benutzt werden. 
Vermöge der Gleichungen (%) ist: = 
Yes Mei I Ye Mar — 21T 1% (k=1,2,...t— 1), 
und der Ausdruck auf der linken Seite dieser Gleichung ist positiv, 
ist; es muss daher v;_,r;n, positiv und also: 
weil | > IK 
%_—, 520.2, .sgn., =ı, d.h.v ,v=p (=1,2....t-1) 
sein. Hiernach kann die Gongruenz (D) in folgende transformirt werden: 
k=I—1 
RR) S=n,—w +3 (_ 1% — pr) + _ı m — vı_,v, (mod. 8), 
welche wiederum, da vermöge der Gleichungen (2): 
m + %4)=2nm=2r, (mod.ı6) (k=ı,2,...t—ı) 
und also: 
2Iny-, ZEN - m ,m + 237, (mod. 16) (k=ı,2,...t—ı) 
: n 
ist, in die Congruenz: 
k=t—ı 
RN Sen -w+t non, + N_ıNn) — vd +2 (r. — 24) (mod. 8) 
verwandelt werden kann. Setzt man nunmehr: 
