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Beweis einer JAcoplschen Integralformel. 
Von L. KronEcker. 
(Vorgelegt am 7. Februar [s. oben 8. 75].) 
I» einer im XV. Bande des Crerre’schen Journals abgedruckten Ab- 
handlung, welche den Titel führt: » Formula transformationis integralium 
definitorums entwickelt Jacosı eine Formel, mittels deren die Integrale, 
welche die Coeffieienten Fovrıer’scher Reihen darstellen, in andere 
zur Berechnung geeignetere transformirt werden. Es ist dies die 
a.a.0. (Crerze’s Journal, Bd. XV. S. 3) mit (7) bezeichnete Formel: 
r I 
cos x) cosna de — 
[7 Te3.5...(20 — 
Ir" (cos x) sin” ode, 
1 
o 
in welcher » irgend eine positive ganze Zahl und f'”(z) die n“ Ab- 
leitung der Function (2). bedeutet. 
Jacogı leitet seine Formel zuerst unter der Voraussetzung ab, 
dass die Funetion (2) durch eine nach ganzen positiven Potenzen 
von 2 fortschreitende Reihe gegeben sei, und beweist nachher dieselbe 
Formel allgemein mit Hülfe eines auch »an sich bemerkenswerthen 
Lemma’s«. Als nun vor Kurzem von einem Mitgliede des hiesigen 
mathematischen Seminars in einer Versammlung, die unter meiner 
Leitung stattfand, ein Vortrag über die angeführte Jacogr'sche Ab- 
handlung gehalten und dabei auch eine andere Herleitung der Jacogı- 
schen Formel gegeben wurde, bemerkte ich, dass die allgemeinste 
und zugleich einfachste Beweismethode durch einen Induetionsschluss 
erlangt wird. 
Da nämlich für die Integrale auf der linken Seite der JacoBI- 
schen Formel die Gleichung: 
m m m 
[feosa) cos(n + 1)ede+ [fteos x) cos(n —ı)ada — 2 [ cos x f(cos x) cos nx de — 0 
© o o 
besteht, so braucht offenbar nur gezeigt zu werden, dass auch die 
drei entsprechenden Ausdrücke auf der rechten Seite der Formel die 
