544 Sitzung der physikalisch- mathematischen Classe vom 8. Mai. 
Glieder mit /,(2) bezeichnet wird — die Differenz f(2) — (2) für un- 
endlich grosse Werthe von z verschwindet und überdies, wie nachher 
näher ausgeführt werden soll, sich durch das Cauenv’sche Integral, 
erstreckt über die Peripherie eines Kreises mit beliebig grossem Radius, 
darstellen lässt, also durchweg gleich Null sein muss. 
Die allgemeine Entwickelbarkeit algebraischer Functionen, welche 
der vorstehenden Deduetion zu Grunde liegt, ist wohl ‘nieht in ganz 
einfacher und zugleich vollständiger Weise darzulegen. In den meisten 
Lehrbüchern fehlt die Theorie dieser Entwickelungen überhaupt; ich 
finde sie nur in einem älteren Werke, dem grossen Lacroıx’schen 
»Traite du ealeul differentiel et du ealeul integral«, auf welches auch 
in dem Minvine’schen Aufsatze verwiesen wird, und in dem neueren 
©. Jorpan’schen Lehrbuche »Cours d’analyse de l’&eole polytechnique« 
behandelt, aber mir scheinen die bezüglichen Auseinandersetzungen 
nicht ganz erschöpfend zu sein. So viel ich sehe, wird in den beiden 
eitirten Werken nur gezeigt, wie unter der Voraussetzung der 
Entwickelbarkeit die einzelnen Exponenten und Coeffieienten der 
verschiedenen Glieder der Entwickelung bestimmt werden können. 
Doch ist weder nachgewiesen, dass jede aus diesen Bestimmun- 
gen hervorgehende Entwickelung wirklich die vorgelegte algebraische 
Gleichung befriedigt, noch dass für jede der verschiedenen Wurzeln 
der Gleichung eine solche Entwickelung erlangt wird. Der erstere 
Nachweis müsste offenbar den der Convergenz der Reihenentwickelung 
mit enthalten, der letztere müsste entweder auf eine Reduction des 
Grades der vorgelegten Gleichung mit Hülfe einer der gefundenen 
Reihenentwickelungen gestützt werden, oder es müsste dabei die Vor- 
aussetzung hinzugenommen werden, dass die vorgelegte Gleichung 
lauter verschiedene Wurzeln habe, und keine Discussion soleher Art 
findet sich in den angeführten Werken bei Behandlung der bezeich- 
neten Frage. Dass Hr. Weıerstrass schon vor langer Zeit die Theorie 
der Reihenentwickelungen algebraischer Funetionen vollständig erledigt 
und in seinen Universitätsvorlesungen mehrmals vorgetragen hat, weiss 
ich aus seinen persönlichen Mittheilungen, und dieselbe Theorie lässt 
sich auch in voller Allgemeinheit, wie ich schon in der Einleitung zu 
meiner Abhandlung »über die Discriminante algebraischer Funetionen 
einer Variabeln« erwähnt habe,' mit den a. a. O. auseinandergesetzten 
Methoden behandeln. 
Wenn hiernach die allgemeine und vollständige Theorie der Ent- 
wickelung algebraischer Functionen in Potenzreihen eben nur auf ein- 
gehendere Untersuchungen gegründet werden kann, so erscheint es 
‘ Journal für Mathematik Bd. gı. (1881), S. 305. 
