Krosecker: Beweis des Putszux’schen Satzes. 545 
von Interesse, dass die obige Deduction des Pvuiszux’schen Satzes mittels 
einer einfachen Transformation der unabhängigen Veränderlichen von 
der Voraussetzung der allgemeinen Entwickelbarkeit algebraischer 
Funetionen befreit werden kann. Um dies zu zeigen, möge nunmehr 
vorausgesetzt werden, dass eine eindeutige Function /(z) einer Gleichung: 
EEE TH... + ld) FE) + B.(2) = 0 
genügt, deren Coeffieienten $(2) ganze rationale Funetionen von 2 
sind, und deren Discriminante A(z) von Null verschieden ist. Es ist 
nachzuweisen, dass hieraus erschlossen werden kann, f(z) müsse eine 
rationale Function von 2 sein. Ist nun 2, irgend ein Werth von z, 
wofür weder $,(z) noch die Diseriminante A(z) verschwindet, so ergiebt 
die Tavror’sche Entwickelung für jede der n Wurzeln jener Gleichung 
n“" Grades, also auch für f(z), eine nach ganzen, steigenden Potenzen 
von (z— z,) fortschreitende Reihe. Setzt man: 
I 3 1 
2=At+t-—, Fat —)=9@; 
% 0 
so ist g(x) nach ganzen fallenden Potenzen von x entwickelbar und 
genügt zugleich einer Gleichung n'” Grades: 
RE EEET era Fa) =; 
deren Coeffieienten Y(x) ganze rationale Funetionen von x sind. Es 
ist daher, wenn man mit y(x) denjenigen Theil der Entwickelung 
von Y,(x)g(2), welcher die nicht negativen Potenzen von x enthält, 
und mit z(&) die Differenz Y,(x) g(x) — y(a) bezeichnet, offenbar el“) 
eine eindeutige Function von x, welche für @ = © verschwindet und 
zugleich einer Gleichung: 
PD)" HK + 4 na) PR) + Kur) = 0 
genügt, in welcher die Coeffieienten %(x) ganze rationale Funetionen 
von x sind. Hiernach ist: 
wenn die Integration über irgend eine den Punkt (x) umschliessende 
Curve erstreckt wird; denn daraus, dass p(x) jener Gleichung n“" Grades 
genügt, folgt, dass z(2) für endliche Werthe von x endlich und im 
Allgemeinen, d. h. höchstens mit Ausnahme derjenigen Werthe von 
x, wofür die Diseriminante der Gleichung verschwindet, auch stetig 
sein muss. Nimmt man nun für jene Integrations-Curve einen Kreis 
mit unendlich grossem Radius, so wird p(£) = o, und es ergiebt sich 
daher, dass p(x) für alle Werthe von x gleich Null, also Y,(x) g(@) =y(&) 
und folglich f(2) eine rationale Function von 2 sein muss, 
