546 Sitzung der physikalisch- mathematischen Classe vom 8. Mai. 
Bei der hier dargelegten Beweismethiode kann man natürlich auch 
die Transformation der Variabeln = in die Variable x vermeiden; man 
gelangt alsdann zu einer vereinfachten Darstellung des von Puiseux 
selbst a. a. O. gegebenen Beweises. Nach den obigen Bestimmungen 
ist nämlich, wenn 
BU + EIN TH + Puıld)y + Pre) = Ey 2) 
gesetzt und der Grad von ®(y,z) in Beziehung auf 2 mit m bezeichnet 
wird: 
Ya) = (22) "$,() und also: Yla)ga) = (ke — 2)" Bl) fl). 
Bedeutet nun y, irgend einen der n Werthe von y, wofür $(y,2) = 
wird, und @,(z) denjenigen Theil der Entwickelung von $,(2)y; nach 
steigenden Potenzen von (z2— 2,), welcher nur niedrigere als (m + 1)" 
Potenzen enthält, so ist für einen Werth des Index k: 
(92) yr — ld) 2) "= plR). 
Für den Beweis des Purseux’schen Satzes ist also nur erforderlich zu 
zeigen. dass der Ausdruck auf der linken Seite, wenn er eine ein- 
deutige Funetion von z darstellen soll, nothwendig gleich Null sein 
muss. Dies erhellt aber in der That, wenn man diesen Ausdruck durch 
ein Caucnv’sehes Integral darstellt. Setzt man nämlich zur Abkürzung: 
Bolz)yr — 2) = Frl?) ; 
so bleibt (r— 2)" F,(z), für jeden Index k, bei endlichen Werthen 
von z, auch wenn z dem Werthe 2, beliebig nahe genommen wird, 
innerhalb endlicher Grenzen, ist durchweg — höchstens mit Aus- 
nahme der unmittelbaren Umgebung des Werthes 2 = 2, und aller 
derjenigen Werthe, wofür die Diseriminante von ®(y, 2) verschwindet 
— stetig, und nähert sich, wenn z unendlich grosse Werthe annimmt, 
der Grenze Null. Wenn daher für einen Werth des Index A die 
Funetion F,(z2) eindeutig ist, so muss sie gleich: 
= er +1 = Na —ı 
(z Fri 2)" g ww 20) ; F, @) de 
am de — 
sein, wo die Integration über einen Kreis mit unendlich grossem 
Radius erstreckt werden kann. Da aber der Werth von (&— z,) """F(&) 
auf einem Kreise mit wachsendem Radius sich durchweg der Null 
nähert, so muss F,(z) = o und also y, mit der rationalen Funetion 
O2). E - 
Aula) identisch sein. 
ol 
Bedeutet (2), wie oben, die als eindeutige Function von 2 
vorausgesetzte Wurzel y,. so ist f(2) = — _. Wird hierin für den 
