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Kronecker: Beweis des Pviszux’schen Satzes. 547 
mit ©,(2) bezeichneten Theil der Entwickelung von &,(2)f(z) nach 
Potenzen von (2 — z,) dasjenige Integral substituirt, welches aus der 
Darstellung von @,(2)f(z) durch das Caucnv’sche Integral resultirt, so 
kommt: 
5] Do (2) ff) 8% er 
fa) rigule), er: I ii A, 
o Oo, 
wo die Integration über einen unendlich grossen Kreis zu erstrecken 
ist. Hier erscheint nun der von Pviseux selbst gegebene Beweis seines 
Satzes in einer einzigen Formel zusammengefasst; denn der Ausdruck 
auf der rechten Seite ist offenbar eine rationale Funetion von z, und 
die Richtigkeit der Formel basirt einerseits auf der Voraussetzung der 
öindeutigkeit von f(z) als einer Vorbedingung der Darstellung durch 
das Cauvcnv'sche Integral, andererseits auf der Voraussetzung, dass 
(2) zugleich einer algebraischen Gleichung genügt, deren Coeffieienten 
ganze rationale Funetionen von 2 sind. Aus der letzteren Voraus- 
setzung folgt nämlich erstens, dass f(2), multiplieirt mit dem Coeffi- 
eienten der höchsten Potenz, der oben mit &,(2) bezeichnet worden 
ist, durchweg endlich und, abgesehen von der Umgebung einzelner 
Punkte, stetig, also durch das über einen unendlich grossen Kreis 
zu erstreckende Integral: 
u LAG) de 
2mi, 2—( 
darstellbar ist, und es folgt daraus zweitens, dass das über einen 
unendlich grossen Kreis ausgedehnte Integral: 
EG ma 
verschwindet, wenn die ganze > m durch den Grad der ganzen rationalen 
Coeffieienten der Gleichung, welcher f(2) genügt, nicht übertroffen wird. 
Der hier unter verschiedenen Formen dargestellte Beweis des 
Pviszux’schen Satzes stützt sich nur auf die zwei Elemente, welche 
durch den Ausspruch des Satzes selbst als wesentliche bezeichnet sind, 
nämlich auf die Möglichkeit der Isolirung einer der durch die vor- 
gelegte Gleichung definirten Functionen und auf die Möglichkeit der 
Charakterisirung ihrer Eindeutigkeit. Die Isolirung geschieht durch 
die Entwiekelung in eine Tayror’sche Reihe, aber nur bis zu einem 
von vomherein durch den Grad der Gleichungscoeffieienten zu bestim- 
menden Gliede, die Charakterisirung der Eindeutigkeit geschieht da- 
durch, dass die Funetion als Caucnv’sches Integral dargestellt wird. 
Dabei erfüllt der Beweis jene strengeren Forderungen, welche ich im 
Anfange des $. 4 meiner Festschrift zu Hrn. Kumner’s Doctorjubiläum 
angedeutet a denn es wird in dem Beweise eine Methode angegeben, 
