FrcHs: Über lineare nitTereiitinloleichungeii. l.")l) 



lioniogeiien Ditiereiitialgleicliuug. wek-lipr (r genügt, sagen, dass sie mit 

 (i) zu derselben Classe geliöre, wenn die Grössen xA^, A^. . . . A,„_^ 

 ebenfalls eindeutige Functionen des Ortes {.x. s) bedeuten. 



Als Functionen des Ortes [x . s) lassen sieh die Integrale der 

 Difl'erentialgleicliung (0 als lineare homogene Functionen eines Fun- 

 damentalsystems y, . y,. . . . i/,„ mit von x unabhängigen Coefficienten dar- 

 stellen. Ist Cr die Gruppe derjenigen Substitutionen von y, .y, , ■■•!/,„• 

 welche den sämmtlichen geschlossenen Bahnen des Ortes {x.s) ent- 

 sprechen, so ist G zugleich die Gruppe der denselben Bahnen ent- 

 sprechenden Sulistitutionen für die Integrale «•, . u\ .... iv,„ . welche 

 aus Gleichung (2) für y = y, «i/o. • • • i/,„ hervorgehen. 



Ist umgekehrt u\. il\. . . . w„, ein System von Function<^n des 

 Ortes (x.s). welche für alle gesclüossenen Bahnen dieses Ortes in 

 solche lineare homogene Functionen von u\. iv..,. . . . ic,„ mit von x 

 unabhängigen Coefticienten sich verwamhdn. wie sie die Gruppe G 

 liefert, und setzen wir: 



(4) w, = ^,y, + -A, y; + . . . + .i„, _ , yi:" - " 



für k= i . 2. . . . ni. so folgt: 



{5) A= ^. ?, = o. i. . . . ()/i—i). 



A 



wo A die Hau])tdeterminante von y^,y.,. . . . y„, . und A. aus A dadurch 



hervorgeht, dass die A + i"" Yerticalreihe in A durch ii\. ic. /r,„ 



ersetzt wird. 



Ist einer den- bezeichneten Bahnen entsprechend: 



so ist auch, weil oLj.^ von .r unabhäno-io- 



(7) ( -~r- ] = cl,, //';' + :l,, j/f + . . . Ä,„, y 



III y m 



Dm" Yorausselzung nach ist aucli: 



(8) H'^. = a^.^ n\ + a^., u\ + . . . + ä^,,, w„,. 



Denmach erhalten Zähler und Nenner in Gleichung (5) durch den- 

 selben Umlauf von (.r , c^) einen gemeinschaftlichen Factor, woraus sich 

 ergiebt. dass A^ eine eindeutige Function des Ortes [x , s) ist. Die 

 Diflerentialgleichung , welcher ?f,. u\. . . . ii\, genügen, gehört demnacli 

 mit (i) zu derselben Classe. 



Wenn y^. y^_. . . . j/„, sowie u\. ?r.,. . . . w„, überall in der Rie3iaxn- 

 schen Fläche bestinnnt sind (in dem Sinne wie dieses für die Inte- 

 grale derjenigen Classe von Difl'erentialgleichungen statt hat. welche 

 in meiner Arbeit Crellf/s Journal. Bd. bG . Nr. 4 Gl. 12 dctinirt word(Mi) 

 so sind die Coefficienten A-^ rationale Functionen des Ortes (.r. .'^). 



