FrcHs: Über lineare Differentialgleiclmngen. 161 



Vi^ Vi ■> • ■ • Urn^ <^i^ irgend welchen Umläufen von [x, s) ent- 

 sprechen, von / unabhängig sind. 



Es sei umgekehrt vorausgesetzt, dass ein Fundamental- 

 system von Integralen y^, y^, ... y,„ der Gleichung ( i ) angeh- 

 har sei, von der Beschaffenheit dass die Coefficienten der 

 Substitutionen, welche allen Umläufen von {x,s) entspreclien. 

 von einem in den Coefficienten der Differentialgleichung 

 auftretenden Parameter t una1) hängig sind. Alsdann genügen 

 in dem ganzem Verlaufe von [x. .s) die Functionen y^-y. ... //,„ 

 einer Gleichung der Form {3), deren Coefficienten A-, ein- 

 deutige Functionen von {x^s) sind.' 



Ist nämlich für irgendeinen Umlauf von {x ^ .9): 



(Ö) yk = ^kxVx + ^k^Vo + • • • + ^kmym : k=l,2.....m 



SO ist nach der Voraussetzung auch: 



fVA '"^Ui , f^y-i , , '^i/n 



2 



(7) ^ == ^z.-. -'^7" + ^/•2 -V/" + • • • + ^, 



dtj~ '■•■ 3/ ^ '-' dt ^ • • • ' "" dt ' 



8y, 3?/, 3v;„ 



Daher gehört die Diöerentialgleichung. welcher -7^—-. -^ o, ge- 



Ct Vi vt 



nüii'cn, zu derselben Classe mit ( i ), (S. vorige Nummer) und es finden 

 im ganzen Verlaufe von {x , s) die Gleichungen (3) mit in {x, s) ein- 

 deutigen Coefficienten statt. 



Wir wollen von den Differentialgleichungen (i), welche ein Fun- 

 damentalsystcm von Integralen besitzen, das zugleich einer Gleichung 

 der Form (3) genügt, kurz sagen, ihre Substitutionen seien a'ou 

 t unabhängig. 



Sind die Coefficienten der Gleichung (i) rationale Functionen 

 von {x, s) , und haben ihre Integrale keine Unbestimmtheitsstellen , so 



Imben aucli'^ -^ keine solchen Stellen, und die Coefficienten 



dt 



Aq, A^ , . . . A„i _ I 

 sind rationale Functionen von {x,s). 



3. 



Durch Differentiation der Gleichung (i) voriger Nummer nach t 

 folgt: 



(r) yr' y + y^Jl^- l 



^^ ^■^dtdx"'-'^ ^ ^>.dt dx'"-'- 



o . 



^ Vergl. Sitzungsberichte a. a. O. Nr. 12. 



^ Vergl. Sitzungsberichte a. a. 0. S. 1280 Gl. (5). 



^ Vergl. Sitzungsberichte a. a. O. S. 1281. 



