162 Sitzuna,' der physikalisch -mathematischen Classe vom 25. Februar. 



Differentiiren wir Gleichung (3) voriger Nummer wiederholt nach x 

 und reduciren auf den rechten Seiten die Ableitungen nach x ver- 

 mittelst der Gleichung (i) derselben Nummer auf solche von der 

 Ordnung 0,1,... {m — i), und substituiren die Resultate in dieselbe 

 Gleichung (i) voriger Nummer, so ergiebt sich eine Gleichung von 

 der Form: 



deren Coefficienten eindeutige Functionen von {x . s) sein sollen. Ist 

 Gleichung (i) voriger Nummer irreductibel. so ergiebt sich hieraus: 



(3) Ä, = o. R^^-- o. . . . R,„ = o. 



Dieses ist ein System linearer Differentialgleichungen für die Func- 

 tionen A^, A^. . . . A,n--i mit Coefficienten, die von {x,s) eindeutig 

 abhangen , u Jid es ist zu entscheiden . ol) dasselbe P a r t i c u 1 a r i n t e - 

 grale besitze, welche ebenfalls eindeutige Functionen von (j;,.s)sind. 



Wenn wir die beschränkende Voraussetzung wieder aufnehmen, 

 dass die Coefficienten der Gleichung (i) voriger Nummer rationale 

 Functionen von {x , s) sind , inid dass die Integrale derselben nicht 

 Stellen der Unbestimmtheit besitzen, so gilt der Satz: 



I. Die Wurzeln der determinirenden Fundamental- 

 gleichungen der Gleichung (i) voriger Nummer sind von / 

 unabhängig, wenn diese Gleichung von / unabhängige Sub- 

 stitutionen besitzt. 



Es sind nämlich die Wurzeln einer determinirenden Fundamental- 

 gleichung das — . fache des Logarithmus der Wurzeln der Fundamental- 



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gleichung,^ einer Gleichung deren Coefficienten der Voraussetziuig nach 

 von t unabhängig sind. 



Ist unter derselben Voraussetzung y, ■ ^o • • • • y„, ein Fundamental- 

 system der Gleichung (i) voriger Nummer, dessen Substitutionen von t 

 unabhängig sind, oder was dasselbe besagt, ein solches Fundamental- 

 system, welches auch der Gleichung (3) voriger Nummer genügt, so 

 wird hieraus das zu einer singulären Stelle x=^a, s =^ h gehörige 

 Fundamentalsystem u^ , u^. . . . ?/,„ durch die Gleichungen : 



(4) U,, = X/,, y, + ^'x-^ ^2 + • • • + ^km y,n k=l,l,...m 



hergeleitet, in welchen X/,i, X/^.^, . . . x,,^ durch die Gleichungen: 



^/.,(c6„ — W/,) + Xi,^^ci,^ + -h ^^>,„öim. = o 



a:x.,06,2 + X,,., {CC,_,_ — ü)/,) + . . . + %;„£^„,2 = o 



(5) ■ 



X/,,u„„ + X/^.._ci„„ + + ^%,„(öt„,„, — w^.) = o 



^ S. Crellf/s Jonrnal B. 66 S. 132 GL (6). 



