FncHs: Über lineare Differentialgleicliungen. 16H 



hestimmt sind , wenn mit et,., die Umlaufscoefficienten von y,, y.,, . . . y,^ 

 für den singulären Punkt [a , /;) vmd mit w^. eine der /// Wurzeln der 

 Fimdamentalgleiclumg bczeiclmet werden/ 



Da ot„ und w,^ von t unabliängig sind, so ergiebt sich für den 

 Fall, dass die Fundamentalgleichung ungleiche Wurzeln l)esitzt, dass 

 die Verhältnisse der Grössen X/.^^ von t unabhängig. Wir können 

 demnach die unbestimmten Factoren von ?/,, ii^, . . . u„, so wählen, 

 dass die letzteren ebenfalls gemeinschaftliche Lösungen von (i) und (3) 

 voriger Nummer werden. 



Es ist aber" zu ersehen, dass auch für den Fall, dass die 

 Fundamentalgleichung gleiche Wurzeln hat . durch solche lineare 

 homogene Functionen der Integrale y^, y^, . . . y,„ ein zu {it. h) ge- 

 höriges Fundamentalsystem abgeleitet werden kann, deren Cocfficienten 

 nicht nur von x sondern auch von t unabhängig sind. Demnach 

 können wir folgenden Satz aussprechen: 



IL Man kann unter denselben Voraussetzungen, welche 

 im Satze I gemacht sind, das zu irgend einem singulären 

 Punkte der Cxleichung (i) voriger Nummer gehörige Funda- 

 mentalsystem w,, ?^2- • • • ^m so w^ählen, das auch die letzteren 

 Integrale gleichzeitig der Cxleichung (3) voriger Nummer ge- 

 nügen. 



Im Falle . dass die Voraussetzungen des Satzes ( i ) erfüllt sind, 

 ergiebt sich aus demselben, dass, wenn in Gleichung (i) voriger 

 Nummer : 



— - 1 r dx 

 y = e '"'' ' . V 



gesetzt wird, die Differentialgleichung für v ebenfalls von i unab- 

 hängige Substitutionen hat, dass man demnach bei der Discussion der 

 Gleichung (i) voriger Nummer, da wo es zweckmässig ist, /\ = o 

 voraussetzen kann. 



Beispielsweise lauten die Gleichungen (3) 



für r, = o 



m =: 2 



(A'r'+2^[,"=o 



l ' " 0/ 



^ S. Crelle's Journal B. 66 S. 132 Gl. (5). 

 ^ S. Crelle's Journal B. 66 S. 1 34 ff. 



