Fuchs: Über lineai^e Differentialgleichungen. 165 



(leren Coefficienten eindeutige Functionen von 



X , Xi , x^ , ... ^j_i , y? ^i ? ^2 5 • • • ^T— I • 



So ergiebt sich z. B. : 



d^z _. _. dz _.. d-'-'z 



r , u = i,2,...m. 



)x"'-' 



(.) gi = 5S^ + B^?S+---+^--3. 



Aus diesen Gleichungen erhalten wir durch Elimination von 



dz d^z d'"-'z ,,,, , 



^^- ' ^v-. ' ■ ■ ■ ^ ,„_, eine Gleichung: 



öx ox- öx 



deren Coefficienten r,' , /-j , . . . /',! eindeutige Functionen von 



X, x^, x^, ... ^^_, , y, ?/, , y, , . . . y,_, 

 sind. 



Es genügt dalier z auch als Function von x-, einer ge- 

 wöhnlichen linearen homogenen Differentialgleichung mit 

 Coefficienten von derselben Natur, w^ie r,, r\, ... r,„ . 



Selbstverständlich kann das System (i) auch so beschaffen sein, 

 dass die Ordnvuig der Differentialgleichimg (A') niedriger als die y«*" 

 ^\drd. Dieses würde geschehen . wenn die Determinante 



I Sil I 



für V = 1 , 2 , . . . {in. — I ) 



IX = 1 , 2 , ... {m — I ) 



verschwindet. 



Im Allgemeinen also wird die Ordnung der Gleichung (A') 



die m^" sein . und es Avird das System der Gleichungen ( i ) für 



. . , ^ , dz d^'z ^d"'-^z 



fjL =^ 1 , 2 , . . . {m — i) die Autlösung nach t^— ' ^-^ ? • • • ge- 



ox cx' ox 



statten, und namentlich: 



dz ^ ^ dz ^ d'z .. 9"'-^ 



ÖX ox,_ ox; öx" 



ergeben, wo C^,. eine eindeutige Function von 



X , x^, x^ , ... oc^_j , y, ?/, , 3/2 , . . . y^_i 



ist. Mit Hülfe von (B) folgert man dann, dass allgemein: 



dz dz d'"-'z 



ÖX^ öx^ Öx" 



für f^ = o , 1 , 2 , . . . (p — I ) , 



