166 Sitzung der plij^sikalisch-matheinatischen Classe vom 25. Februar. 



WO C,^,. wiederum eine eindeutige Function von 



ist. 



Im Allgemeinen geniesst also das Fundamentalsystem 

 Zj, z^, ... z,„ die Eigenschaft, dass die Gruppe der Substitu- 

 tionen desselben von x. x^, x^, . . . x^_, unabliängig ist, welche 

 der Variabein x. x,, ... x,, auch als allein veränderlich auf- 

 gefasst wird. 



Zur Kategorie der Differentialgleichungen (A) gehören z. B, die- 

 jenigen Differentialgleichungen, welchen die Periodicitätsmoduln der 

 Abel'scIkmi Integrale als Functionen der Classenmoduln genügen.' 



Wir werden ])Mld noch andere Beispiele kennen lernen. 



5. 



Es sei jetzt umgekehrt ein System linearer homogener partieller 

 Differentialgleichungen mit der aT)hängigen Variabein z und den un- 

 abhängigen Variabein x, Xi, x^, . . . x^_i vorgelegt, deren Coefficienten 

 eindeutige Functionen von x.x^, . . . x^_^ und den von diesen algebraisch 

 abhängenden Grössen y, y, , . . . ?/^_, seien: und es werde die Voraus- 

 setzung gemacht, dass dieselben durch eine Function z befriedigt 

 werden, deren Zweige (d. h. die durch solche Umläufe der Varia- 

 bein X, x^, Xo, . . . x._i erzeugten Functionswerthe, für welche auch 

 yiVi-y-i'-'-ih-x i^ii'c Anfangswerthe wieder annehmen) sich sämmt- 

 lich durch ni derselben z,, ^, , . . . z, 

 mit von x, a", , x^, . . . x 

 stellen lassen. 



Zunächst ergiebt sich : 



I. In Bezug auf jede der einzelnen A^ariabeln genügt 

 einer linearen homogen Differentialgleichung höchstens m* 

 Ordnung: 



linear homogen und 

 unabhängigen Coefficienten dar- 



(^) 





+ ... + ?•; 



8< ' ^< 

 deren Coefficienten eindeutige Functionen der Grössen 



tAJ • *aJ I • »A/^ • • • • M^ j 1 



Ist nämlich : 



(1) 



y^- 



A'" = 



sind. 



3^ 



dx'f 



/,• =r= O , I , . . . (/« — I ) 

 / = 1 , 2, . . . m 



^ Vergl. Crei,lk"s Journal, B. 71 S. i28ft".. B. 73 8. 324 ff.. Sit/ungsherichte i< 



,S. 12S5 ff. 



