Fuchs: Über lineare Dififerentialfi,leich\ingen. 167 



die Hauptdeterminante von Zi, z^, . . . z,„ in Bezug- nnf die Variable x^ , 



und Aj.!' diejenige Determinante, welche aus A''* hervorgeht, wenn die 



3'"^ d"'z, d"'z 



/.te Yei-ticah-eihe durch -f^^ , -^^~ ■ • ■ • ^ "'" ersetzt wird, so ist: 



öxl öx" ' dx-^ 



_ aW 



Wegen der vorausgesetzten Eigenschaft der Function z wird für einen 

 Umlauf von x^,, hei welchem y, y^, y^, . . . y^_^ unverändert bleiben, 

 Zähler und Nenner in der rechten Seite der Gleichung (2) mit dem- 

 selben Factor multiplicirt, also r[f' ungeändert bleiljen. 



Aus der über die Zweige der Function z gemachten Voraus- 

 setzung ergiebt sich ferner: 



II. Lassen wir x^, solche Umläufe machen, welche auch 

 y,y^,y^, . . . y^_.i in ihre Anfangswerthe zurückführen, so sind 

 die diesen Umläufen entsprechenden Substitutionen der In- 

 tegrale der Gleichung {ci) von x , x^, x^, . . . x^_^ unabhängig. 



Wir sind hiernach auf die in Nr. 2 hervorgehobenen Differential- 

 gleichungen wieder zurückgeführt worden. 



6. 



Wir betrachten wieder ein System {S) linearer homogener par- 

 tieller Differentialgleichungen mit der abhängigen Variabein z und 

 den unabhängigen Variabein x, x^, x^, . . . ^,_i, deren Coefficienten 

 eindeutige Functionen der letzteren Variabein und der von denselben 

 algebraisch abhängenden Grössen y,y^,y^, . . . y^_, seien. 



Das System {ß) soll jetzt der folgenden Bedingung genügen: 

 Dasselbe soll identisch l)efriedigt Averden, wenn die sämmtlichen Ab- 

 leitungen nach den Variabein x,x^,x^, . . . ^,_, durch bestimmte lineare 

 homogene Ausdrücke eines festen Systems von m Ableitungen ersetzt 

 werden, deren Coefficienten eindeutige Functionen von x , x^,x^_, ... ^^_, , 

 y ^ y\-> Vi • • • y^—i sind. Dieses feste System von Ableitungen lässt sich 

 dann allemal so wählen, dass zwischen denselben eine lineare homogene 

 Gleichung mit in x, x^, x^, ... x , , y, y, , yar • • • y.7-1 eindeutigen 

 Coefficienten nicht stattfindet. 



Für ein so charakterisirtes System {S) ergiebt sich zunächst: 



I. Jede Lösung z desselben genügt in Bezug auf jede 

 einzelne der Variabein x-^ einer Differentialgleichung: 



3"^ .>3"— 2 

 3^ 



^'^ ^n + ^f^^~;^ + ---+r^n'z = 



