170 Sitzung der physikalisch - mathematischen Classe vom 25. Fehrnnr. 



Die Gleichung (i) schreiben wir in der Form: 



dz üq «i dz I d^z 



und erkennen durch Vergleichung der Gleichungen (4) und {5) mit 

 den Gleichungen (A'), (B'^). dass die Differentialgleichungen (i), (2), (3) 

 ein System (S) bilden. 



Nach voriger Nummer Satz II ist die nothwendige und hin- 

 reichende Bedingung dafür, dass das System (i) — (3) gemeinschaft- 

 liche Lösungen hat, die, dass die Substitutionen, welche die Integrale 

 der Gleichung (4) erleiden, von y unabhängig sind, Avenn x solche 

 Umläufe vollzieht, für welche auch ^ seinen anfanglichen Werth 

 w^iedererhält. 



Die Gleichung (3) ist eine Folge der Gleichungen (i) und (2) 

 oder (4) und (5). Differentiiren wir in der That die Gleichung (5) 

 nach y und Gleichung (2) nach x und berücksichtigen (1) und (2),. 

 so ergiebt sich: 



d^z dz _ dz 



(3a) 

 wo: 



di/^ ° ' 9x ~dy ' 



('i = 



c.. = 





db^' da^ 



dx dy 



9&, da^ 



dx dy 



db^ So, , , j^ 



^r-^ — ^s \- «2 '^ — '''r '-'2 " '''o + b:. 



dy 



Aus der Differentiation von (3a) nach y und nachheriger Elimination 



von 7^ und ^ ^ mit Hülfe der Gleichungen (2) imd (3a) folgt: 



ex oxay 



(4a) 



d^ 

 'du' 



r 



logc. 



dy 



+ a.b. — cJ), 



+ h, + c, 



d^ 

 dy 



d'^z 9c, d logc, 

 ?- -|- ^ c^ 2 ' 



dy""' dy ° ^ '^V 

 "0,7 <^ log ^. / 



dy ' "^ '° dy 



Schreibon wir Gleichung (3a) in der Form: 



(5a) 



dz_ 

 dx 



(\ 



c'j dz I 8^^ 

 c, dy c, dif 



so sind die Gleichungen (4a) luid (5a) mit den Gleichungen (4) inid 

 (5) aequivalent. Das Vorhandensein gemeinschaftlicher Integrale der 

 beiden ersteren ist mit der Unabhängigkeit von x derjenigen Sub- 

 stitutionen ü1)ereinstimmend, w^elche ein geeignetes Fundamcntalsystem 



