Fuchs: Über lineare Difrerentinlgleicliungen. 17H 



Nim ist Q^(«) eine rationale Function des Ortes in der Riemann- 

 sehen Fläche (2), und liat einen von y nnabli ä ngigen Wertli S/,: 



(5) QM=-H- 



Da a])er -^{x-y) irreductibel ist, so folgt, dass die deternii- 

 nirende Fun danientalgleicliiing (4) dieselbe bleibt, welche 

 Wurzel X der Gleichung (2) auch für a gewählt wird. 



Sind daher r, , r.,, r.^ die Wurzeln der Gleichung (2) so folgt: 

 Es giebt ein Fundanientalsysteni von Integralen der 

 Gleichung (1). (^, , <^.^, ^.^ von der Beschaffenheit, dass 



'i,i.{x.y)~"\. ^,4^{x,y)~''\ i,4^{x,y)~''-^ 



ganze rationale Functionen von log \|/(ä;, y) darstellen, der(Mi 

 Coefficienten eindeiitig, endlich und stetig sind, solange y 

 dem Gebiete F angeliört, und x einem entsprechenden Ge- 

 biete G, welches sich aus Gleichung (2) ergicbt/ 



Dieses stimmt mit einem Satze des Ilrn. IIorn" ül)erein , w(dchen 

 derselbe aus anderen Principien und an den Differentialgleichungen 

 (i), (2), (3) Nr. 7 selbst herleitet. 



Die Einschränkung, dass y in dem oben bezeichneten Gebiete F 

 sich bewege, ist erforderlich, \veil entweder die Integrale der Gleichung 

 (1) in der Umgebung vonx—-a für solche Werthe von y. für welche 



•^ = o mit ^s; — = o. oder -a— = o, oder \f/, = o 

 ox oy 



unbestimmt werden können, oder die determinirende Fundaniental- 

 gleiclumg (4) ihren Charakter ändern kann. 



Nacli Satz II Nr. 3 lässt sich das Fundamentalsystem <^, , «^3 , ^^ 

 so wählen, dass dadurch auch (rleiclmng (5) voriger Nunnner d. h. 

 also das System (1), (2). (3) derselben Nummer befriedigt wird. 



Ist demnach \//(^,?/) weder von x noch von y unal)- 

 hängig, so genügt es um festzustellen, ob das System (i), 

 (2), (3) voriger Nummer für -^z = o Unbestimmtheiten zu- 

 lässt, die Bedingungen (3) zu entwickeln. 



Diese Entwickelung ergiebt folgendes Resultat: 



Sei: 



(/>) \ T. '^1,2,3 



^ S. Crelle's Journal, B. 66 S. 148 ff. 

 ■•* Acta Mathematica, T, 12, S. 152. 



