Fuchs: Über lineare Diflerentialgleichungen. 

 Differeiitiirou wir cndlicli (2) nach x, so ergiebt sicli 



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(5) -«. '^:^:^7.+ 



d'z , dz dz , 



a.-^^^-^b^^+c^^+d^z. 



dx'^dij dxdy- '^dxdij '^dx ^ dy 



Die Grössen a,,, b,,, c,,, d,, in den (irleicliimgen (3) — (5) setzen 

 sieh ans den Coefficienten (hu- Gleichvingen ( i ) und ( 2 ) und iliren 



Aljleitungen rational zusanunen. 

 Aus (4) und (5) folgern wir: 



33^ 9^^ 



(ö) 



I — aa. 



i — aa. 



dx^dy ^ dxdy ^ d 



, dz dz , 



X 



dy 



93 



ö'z 



8^ 



dz 



— at, 



(8) 



dxdy' ^ dx dy dx 



Sidjstituiren wir (6) in (3), so folgt: 



93^ 



cxay üx äy 



d. 

 dy 



Igt 



d'z . dz dz 



dx'^ ' dxdii ^ dx ' '^'" "' 



Diflerentiieren wir (8) nneh x und setzen den WerÜi von ^ ..o hus 



d'-z 

 dx^dy 



((S) ein, so folgt; 



(9) 



8^ 

 dx^ 



d'^z , dz dz ^ 



dxdy 



■ix 



dy 



d^z , 3^ 



Eliminiren Avir zwischen { i ). (8) und (q) >^ — ^^- und ^— , so er- 



üx oy äy 



halten wir lur z die Differentialgleichung vierter Ordnung nach der 



Variabein x : 



d^z d^z d'z dz 



= o 



(/3) 



Eliminiren wir 



dy ~ 



)xdy 



zwischen (1) und (8), so folgt: 



dz 



d'z 



dh 



A^z + A, ^ + A.^ 7^^ -\- A., r. 

 ex öx' ^ dx. 



Die Coefßcienten der Gleichungen (u) und (/3) setzen sich aus 

 den Coefficienten der Gleichungen (i) und (2) vmd aus ihren Ab- 

 leitungen rational zusammen. 



Demnach fallen die Gleichungen (1) und (2) in die Kategorie der 

 in Nr. 6 discutirten Systeme (S). Die Gleichungen {a) und (/3) sind 

 besondere Fälle der Gleichungen (A^) und (B3). 



Von den Ausnahmefällen heben wir hier nur den Fall hervor , dass : 



(IG) 



I — aa. 



