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Über die LuDOLPH'sche Zahl. 



^ On Prof. F. LiNDKMANN 



in I''i't'il)ur«_»; i. 1ji'. 



(Vorgelegt von Hin. Weierstrass.) 



1 /iircli (lireoteErweitevung der Schlüsse, vennittelst welcher Hr. Hermite 

 (in der AMiandluiig' "Sur la fonctioii expoiifiitielle" , Coiiipt. rciid. 

 187'^) bewiesen hat, dass die Basis der natürlichen Lugaritlunen eine 

 transscendente Zahl ist, bin ich bei dem Versuche, dassellie von der 

 Zahl ~ nachzuweisen, /.unäclist zu dem folgenden Satze gelangt: 

 Sind 



/;(.-) -o, /;(-) = o. .... fAz) = o 

 s algebraische Gleichungen, von dcMien jede irreducibel und 

 von der Form 



z" + a,z"-' + +^/„ = o 



ist, wo unter r/,, o,, . . . «„ ganze Zahlen zu verstehen sind, 

 werden ferner mit Z^, Z, , Z[' , . . . die Wurzeln der Gleichung 

 f;{z) = o bezeichnet, wird kurz 



_-^ Z, Z, Z' z'.' 



^e ' = e ' + r ' +r ' + 



gesetzt, bedeuten endlich N^, iV,, ... N, beliebige ganze Zah- 

 len, welche nicht sämmtlich gleich Null sind, so kann eine 

 Relation von der Form 



( , ) o = a; + iV, S^/' + N, ^/= + . . . + a: ^f^' 



nicht bestehen, es sei denn, dass eine der Grössen Z gleich 

 Null ist. 



Was den Beweis angeht, so möge es genügen, hier den Gedanken- 

 gang für den einfachsten Fall darziüegen. Es handle sich niu' um 

 eine Gleichung /(c) = o von der Forni(i), deren Wurzeln dann mit 

 z^, z^, ■ ■ • Zu bezeichnet sein mögen. Setzt man, unter in eine ganze 

 positive Zahl verstehend, 



i . 2 . . . {)ti — 1 ) J z — Z; ' yk ^ i , 2, . . . nj 



wo 



r„ = o zu nehmen ist, so ist nach Hrn. Hermite 



