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die Zalilen 3T- gennii (Um- Null gleich" werden. Für dieselben eiid- 

 liclicii \V('rtlie von m nn'issen d;inn niieli die AViiiv.clii der (deieliniiq- (-), 

 d. i. die linken Seiten der (ileieliuno'en (6) verselnvinden. Letzteres 

 wiirdc ziii' l'olnc iinlien. d;tss ;d!e /,\\ citj'liedrigen Detei'niin.-inleu, welche 

 mnn aus den (iW'issen 



Ao Bq . . . Aq 

 2A, SB, 5A, 



liilden kann, i^leieli Null seien i'ür ?«>/«'. Dies aber kann nielit 

 eintriHen . denn sdiist nn'isste die Determinante (4) \erseliwind(Mi. 

 welelie doeli als Potenz der Diseriniinante einer irreducibeln (dei<dnuii)- 

 nothwendiu- von Null verschieden ist. 



In einem Aufsätze »Über die Zahl TT" . welcher demnächst in 

 den »Mathematischen Annalea« erscdieinen Avir<l. verfolge ich speciell 

 den Zweck, die Zahl - als enie transscendente nachzuweisen. Für 

 diesen Zweck genügt es. einen besonderen Fall des obigen allgemeinen 

 Satzes abzuleiten. Man hat nämlich die Cxleichungen f;{z) = o zu er- 

 setzen durch diejenigen irreducibeln Gleichungen, welche bez. von 

 den Zahlen 



-^1 = ^1 • ■^2 = ^1 + ^2 ? -^3 ^^ ~i + ■S'a + ^■j , ... Z„ =^ Z^ + ^2 + • • ■ + -^n 



l)efriedigt werden. Die Anzahl s dieser Gleichungen wird gleich 7i 

 sein, wenn sännntliche Zahlen Z;. Z- , . . . numeriscli von einander 

 verscliied<"n sind; andernfalls ist sie grösser als //: die letzte Gleichung 

 ist immer linear. Es folgt dann, dass \niter oliigen Festsetzvmgen 

 über die N, eine Relation von dn- Form 



nicht bestehen kann; ausgenommen den Fall, wo 



iv, = iv; = . . . = iv„_, = o, ^o = - I , i\: = 1 . 2-. = o- 



Jede der Grössen e ' ist offenbar Wurzel der Gleiclumg 



o = Y" - p'-' 2'''' + y" '^f''^'' - . . . + ■^^~'. +■••+-« 



Diese (ileiclnmg aber würde von der Form (8) sein, wenn sie 

 durch eine rationale Zahl V befriedigt würde. Hebt man noch . was 

 leicht geschehen kann, die bisherige Beschränkung auf. dass der 

 Coefficient von :" in f{z) gleich Eins sei. so kann inan also folgenden 

 Satz aussprechen : 



Ist z eine von Null verschiedene rationale oder algebraisch 

 irrationale Zalil, so ist f' immer transscendent. 



Also auch insbesondere: 



Die LuDOLPH'sche Zahl tt ist eine transscendente Zahl. 

 (Damit steht zugleich fest, dass die Quadratur des Kreises constructiv 

 unausführbar ist.) 



