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Ist iii.slu'soiiilcrp /t nlcicli z\v(M.' so ('i't;i('l)t. sicli zwisclicii p. y, r 

 in (Irr (Ucicliuiig (A) die Relation: 



( 1 ) 2 ;■ = - }//=) - j ;jy " - ^,;P + jpq + ^/", 



wo y/" =; — i^, (/''=: —A ffesPt/.t ist. und man hat 

 dz' dz' ' 



(2) M=e 3-' . 



Findet umgekehrt die Relation (i) statt, so Gesteht zwiselien //,, 

 1/.,, y.^ eine Gleichung (B) vom zweiten Grade. 



Bestimmt man zwei Funetionen |^, , p^ aus den Glt'ielningen: 



(3) 3/^. =p^ m + v\ + Wo = q, i^! = -^' 



so evgiebt Gleichung ( i ) 



dpa 



(4) ^ = 4PoP> + V'.- Po = -^, 



(1. h. ist // gleich ZAvei, so ist die (iieicliung (A) ühereinstimmend mit 

 derjenigen Difterentialgleiclumg, welcher das (^)nadrat Jedes Integrals 

 der Gleichung: 



d'ii du 



(3) ^+^'^+^''^ = ° 

 genügt. 



3. 



Es seien sämmtliche Integrale der Gleichung: 



d"'v d'"~'v 



(0 ^. +U^)j~i + • • • +/.(-) -y = o 



mit rationalen Coefficienten , algebraisch. Gehören zu einem beliebigen 

 Werthe z genau die Werthe z^, z^, . . . c^_, von der Beschaffenheit, 

 dass auf geeigneten Wegen jeder Quotient zweier Integrale von (t) in 

 2-,, c,, . . 2'^_, je einen gleichen Werth erhält wie in z, so kann man 

 eine rationale Fmiction (p(z) von z angeben, von der Art, dass auf 



denselben Wegen i/ip{z) " in z,, z^, . . z,_, Werthe erhält die sich nur 



1 



dui-ch Einheitswurzeln als Factoren von dem Werthe von y(p{z) " in z 



unterscheiden, wo y ein willkürliches Integral der Gleiclnmg (i), vmd jx 



eine ganze Zahl bedeutet. 



Setzt man 



I 



(2) y = (/.{c)" -tt), 

 so genügt 1(1 der Gleichung 



d'"w ^ d'"-'(c 



(3) 'd^^'^' *'* d?^ + • • + ^"'^-'"' = ° 



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