Fl'<il.s: l'licr linr.M-c liniiiiii;i'iu' I )ill'crciil i.-ili;lrirliuiini'ii n. s. u. /().) 



yi-nlc (Icrscllicii je ciiicii i;icicli('ii VVcrIli ;iiiiiiiiiiiit , so ci'.n'icld sich. 

 (lass *] und (Iciiin.-ifli aucli eine ,i;v\viss(' Potoiz eines willivüriiclii'ii 

 Integrals y der tilcichung (A) eine ralinnali» Function von c \\iu\ Jt ist. 



Es ist daher die Anzahl der reducirlen Wurzeln derjenii;<'n al,ne- 

 hraischen Gleicliung. welcher das allgeiueine Integral der (ileicliung (A) 

 genügt, durch eine der Zaiden 2, 3. 4. (! gegelien. 



Nach No. -^ hleiht dieser Satz aucii liestehen, wenn l'ür ein l>e- 

 liehiges z luid iioch andere Wertlie :\ jeder Quotient zweier Integrale 

 der Gleichung (A) je einen gleichen Werth ainiehnien kann. 



Ist endlicli p gleich NuU, so ist bekanntlich 



wo /, (.v), /^(ß), J\(s) ganze rationale Fnnctionen n^"' Grades euier 

 Variahein 5 darstellen. 



Wir beweisen, dass s als Function von c der Quotient zweier 

 Integrale ^, , ^^ einer linearen homogenen Dilierentialgleiehung zweiter 

 Ordmnig mit der unabhängigen Variabein z und mit in z rationalen 

 Coefficienten ist. 



Es sei 



(3) ^,7;^^) = </',(^,, ^.) '■= I, 2, 3 



so findet sich 



(4) yi = ?"pA^^. K-^) i=-- i: 2, 3 



wo p Wurzel einer rationalen Function von z ist. 



Das allgemeine Integral der Gleichung (^) ist also im Falle ;* o 

 al)gesehen von der Wiu'zel einer rationalen Function als Factor durch 

 eine ganze rationale und homogene Function n*'" Grades des Fundamental- 

 systems von Integralen ^, , ^^ fhier algel>raiseh integrh'baren linearen 

 homogenen Dirierentialgleiehung zweiter Ordnung mit in j rationalen 

 Coefficienten ') darstellbar. 



Für «=: 2 ergeben sich ebenfalls die Gleichungen (2) und die daraus 

 hervorgehenden (4). Die Fmictionen </>i(^, , ^2) •"'iii'^ "^ diesem Falle vom 

 zweiten Grade und p ist eine Constante, wälurnd die Diflerentialgieichung 

 zweiter Ordnung in diesem Falle nicht algebraisch integrirbar zu sein 

 braucht, in Übereinstimmmig mit dem in No. 2 gegebenen Resultate. 



6. 



Für die lineare homogene Differentialgleicliung (^1), zwischen 

 deren Integralen eine Gleiehmig (ß) stattfindet, ergeben sich nach 

 dem Vorhergehenden folgende Resvdtate : 



') Ulier sok'lie Diireimtialgleicliiiii^ci] zwcilcr ()r(liiiiiig vergl. niciiic Arlx'itcu 

 in Borcharut's .lournal Bd. 81 S- 97 und Bd. 85 .S. 1. 



