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Die Subdetermiiianteii symmetrischer Systeme. 



Von L. Kronecker. 



Jöei Gelegenheit der Vorlesungen über die Theorie der Determinanten, 

 welelie ich in diesem Sommer an der hiesigen Universität halte, hin 

 ieli zu einigen, wie ich glaube, neuen Resultaten bezüglich der sym- 

 metrisclien Systeme gelangt, die ich nebst ihren An-\vendungen auf 

 die algebraische Theorie der (juadratisehen Formen im Folgenden mit- 

 theilen will. Ich schicke zu diesem Zwecke Emiges ülier die Sub- 

 determinanten beliebiger Systeme voraus. 



Icli bezeichne zwei Systeme von n' Grössen 



f/,^., r/,; ('. /:== I. 2. ...») 



als »reciprok«, wenn deren Zusammensetzung das »Einheitssystem« 

 ^,vt ergiebt, das heisst also, wenn 



2«Ai a'i^ = ^,,i. (A, ,-, yt = 1 , 2, . . . n) 



ist und (^M = o oder 4^. = i ist, je nachdem die 1)eiden Indices a^ou 



einander verschieden oder einander gleich sind. Hiernach \\ird die 



Summe von Determinanten -Producten 



.'/ = .9,' .92' ■■■:!„, 

 h = h,. h /. 



wenn dieselbe auf alle Combinationen von je m Zahlen /, , L, ... l,„ 

 erstreckt wird , offenbar gleich der durch die Index - Systeme 

 (^,, g^, ... g,„; h, ,/(,,... hj charakterisirten Subdeterminante des Systems 

 ^,,/i, also gleich Eins oder Null, je nachdem die beiden Systeme 

 ^, , r/j, . . . ^,„ mid A, , /i^, ... /i,„ mit einander vollständig übereinstimmen 

 oder nicht. Daraus ergiebt sich unmittelbar jener JACOBi'sche Haupt- 

 satz über die Subdeterminanten (vergl. Baltzer's Determinanten -Buch 

 V. Autlage, §.7, 2 S.63). welcher sich folgendennaassen aussprechen lässt: 

 Zwei Systeme entsprechender Subdeterminanten von reci- 

 proken Systemen sind selbst einander reciprok, und da anderer- 

 seits auch das System der adjungirten Subdeterminanten, 

 di^vidirt durch die Determinante, das reciproke eines Sulideter- 

 minanten- Systems ist, so ist die Adjungirte einer jeden Sub- 



