822 Sitzung der pli3'sikalisch- mathematischen Classe vom 27. Juli. 



determinante , dividirt dvirclt die Determinante, gleich der ent- 

 sprechenden Subdeterminante des reciproken Systems. 

 Bei dieser Fassung des JAcoBi'schen Satzes erhellt übrigens, 

 dass die scheinbar allgemeineren FRANKE'schen Entwickelungen im 

 6 1 . Bande des Jom-nals füi- Mathematik (vergl. Baltzer's Determinanten- 

 Buch V. Auflage S. 68 und 69) vollständig darin enthalten sind. Der- 

 selbe Satz lässt sich auch einfach aus der Gleichung 



S (»7„- + (h.) »L = Ka- + 2«7„- «,^. {h,i,k=i,2,...n) 



i i 



herleiten, wenn darin die «- Gr/Jssen ?/,„ als Unljestimmte auf'gefasst 

 werden. Denn wenn man auf beiden Seiten die Determinante nhnmt, 

 so kommt 



I U^K + r/,^ I • I «,^ I = I ^.ß + '^U,k c'u I <.9. /', U- = 1 , 2, . . . n) , 



I, 



und indem man die Coefflcienten des Products u , u , u , auf 



''l I '^2 2 '^"t wi 



beiden Seiten mit einander vergleicht, erlangt man die Relation 



I (ü- 1 • adj I ff„. I = I ff^ I I A = Ä, , /,., , . . . A„, 



Vi, t =: 1 , 2 , . . . n 



welche jenen Satz ü))er die Subdeterminanten enthält. 



Bedeutet nunmehr (r/,^.) ein symmetrisches System, so dass also 

 ß;^ = a^; ist, und setzt man 



Ui^ = XOyU "v, «M- {g,h,i,k=i,i,... n), 



9,1' ' 



so repräsentiren die Grössen C/^^. die allgemeinen Transformirten der 

 Grössen n,^, da sie durch Substitution mit den unbestimmten Coef- 

 flcienten u^^ daraus gebildet sind. Für die Subdeterminanten des 

 Systems U^^ besteht die Gleichung: 



\Ui,\ =il",J-l'Vl-l"/J 



(y)W 



h=h^,h,,...h„ 



WO sich die Summation auf alle Systeme von je m Indices (g^, y^, ...g,„\ 

 h^, h^, ... h„) bezieht. Jede Subdeterminante der Grössen U,,, ist also 

 eine »Form« der Unbestimmten «,<., deren einzelne Coefflcienten durch 

 die sämmtlichen verschiedenen Subdeterminanten ( ???'" Ordnung ) des 

 Systems (o,^) gebildet werden. Zwischen den verschiedenen Ausdrücken 



\/, i- = 1 , 2 , ... m 



welche mit den vei'schiedenen Subdeterminanten | a,,, | multiplicirt sind, 

 existiren aber lineare Relationen und zwar genau dieselben, welche 

 zwischen diesen Subdeterminanten selbst bestehen, wenn die Grössen 

 o,^. ebenfalls als unbestimmte Grössen betrachtet werden. Da nämlich 

 bei der Transformation der quadratischen Form 



