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Die Composition Abelscher Gleichungen. 



• Von L. Kronecker. 



In den Vorlesungen über die Theorie der algebraischen Gleichungen, 

 welche ich in diesem Winter an der hiesigen Universität halte, ha1)e 

 ich es versucht, gleich im Anfange bei der Behandlung der Gleichungen 

 di'itten und vierten Grades den Inhalt des von mir im Monatsl)ericht 

 von 1853 S. 373 aufgestellten Satzes zu entwickeln, soweit derselbe 

 auf Gleichungen jener beiden Grade beschränkt und von der Beziehung 

 auf die Kreistheihmgs- Gleichungen entkleidet wird. Der citirte Satz, 

 »dass die Wm-zeln jeder Abelschen Gleichiuig mit ganzzahligen Coef- 

 ficienten als rationale Functionen von Wurzeln der Einheit dargestellt 

 werden können«, besagt nämlich für den Fall der Gleichungen dritten 

 Grades nichts Anderes, als dass die Wurzeln jeder kubischen Abelschen 

 Gleichung mit ganzzahligen C'oefticienten sich als rationale Fimctionen 

 der Wm'zeln derjenigen speciellen Abelschen Gleichungen dritten 

 Grades ausdrücken lassen, welche bei der Kreistheilung auftreten. Es 

 sind dies die kubischen Gleichungen, welche Gauss im Art. 358 der 

 yten Section der Disquisitiones arithndicae aufgestellt hat. und welche 

 man mit Beibehaltung der dortigen Bezeichnungen auf die Form: 



(A) (3 ^ + I )' — 3 ** (3 ^ + I ) — '' (3 ^ — 2) = o 



bringen kann. Dabei ist n eine Primzalil von der Ff)rm ßA + i. und 

 die Zahl k ist von Gauss durch die Gleichung 



{3Ä:— 2)'+ 2jN^ = 4n 

 definirt, während sich die drei Wurzeln der kubischen Gleichung als 

 die drei aus den «'™ Wurzeln der Einheit zu bildenden Perioden von 

 je j(n — I ) Gliedern bestimmen. Setzt man den Buchstaben p an Stelle 

 von n, fülirt man ferner an Stelle der Zahlen k und N die durch die 

 Bedingungen 



p=:r^ — rs + s^, r^s(mod. 3) 

 definirten Zahlen r mid s ein imd nimmt endlich — j/ = 3 x + 1 , so 

 resultirt die Forai 



(A') 1/ — ^py + p{r + .5) = o 



füi" die von Gauss a. a. 0. aufgestellten Gleichungen. Zu allen den 

 Gleichungen (A'), welche den verschiedenen Primzahlen ^ entsprechen, 

 ist aber noch die Gleichung 



