1060 Sitzung der physikalisch -mathematischen Classe vom 7. December. 



y' — 3y + I = O 

 hinzuzunehmen , deren Wurzeln die drei aus 9**" Wurzeln der Einheit 

 gebildeten Perioden 



27r ATT StT 

 2 COS , 2 COS , 2 COS 



9 9 9 



sind, und welche entsteht, wenn man in (A') 



p =z i ^ r = I . .s = o 

 setzt. Dass alsdann die Reihe der auf diese Weise entstehenden 

 Abelschen Gleichungen 



(A') y"' -^ -i^py ^- p{r -{- s) = o (p = 1.7, 13, 19,31, •■ •■) 



genügend ist, um durch deren Wurzeln die Wurzeln aller Abelschen 

 Gleichungen dritten Grades rational darzustellen, giebt den wesent- 

 lichen Inhalt des oben citirten , im Monatsbericht von 1853 aufgestellten 

 Satzes, soweit er die Abelschen Gleichungen dritten Grades beti-ifft, 

 losgelöst von der Bezieliung zur Kreistheilung. Um dieses 

 Resultat herzuleiten, bedm-fte es nur des Begriffes der »Composition« 

 Abelscher Gleichungen, ganz analog jenem Begriffe der Composition 

 aUgemeiner algebraischer Formen, den ich in genauem Anschluss an 

 die GAüss'sche Composition der quadratisclien Formen im §. 22, V 

 meiner Festschrift zu Hrn. Kummer's Doctor- Jubiläum emgeführt habe. 

 Bezeichnet man, wie in meinem Aufsatze im Monatsbericht vom 

 December 1877 S. 845 eine rationale Function von ??, . «, . . . «,. Grössen 



^ /A =0.1,2,...« — l"\ 



'2 " \ a—l ,2,...v ) 



als cyklisch, wenn sie bei der Substitution der Grössen 



\ . Ä,_. ... Ä„ +,,... A„ an Stelle von x^^^ ^ ^^^ ^^^^ ^^ (« = . , 2 , . . . w) 



unverändert bleibt, so sind jene //,./;, . . . ?*„ Grössen x die Wurzehi 

 einer Abelschen Gleichung, wenn deren symmetrische und cyklische 

 Fimctionen als Elemente des Rationalitäts-Bereichs genommen werden. 

 Setzt man niui ferner 



^^h^ . Ä^ , . . . Ä,, ' i'A-, .k-^,... /■.. = -^A, + A-, , Ä, + A-, , . . . A„ + A-„ ' 

 SO werden hiermit unter der Voraussetzung, dass die Summation 

 hnks ü])er alle diejenigen n, ./?,... «„ Werthsysteme der Indices er- 

 streckt wh'd, für welche 



Ä, + Ä-, , h, + A-, , . . . A„ + k,. 

 feste Werthe behalten, «, . n^ . . . 71,. Grössen z definirt, deren cyklische 

 Functionen ebensowohl zugleich cykhsche Functionen der Grössen x, 

 als solche der Grössen y sind. Dies erhellt unmittelbar daraus, dass 

 die Substitution von 



\ + k^ + ,,h, + K_,...h, + ^„ an Stelle von c^_ ^ ^._ ^ ^^ ^ ^.^^ _ ^^ ^ ^.^ 

 ebensowohl durch die Substitution von 



