Kronkcker: Die Coiiipositicin Abelsclier Gleichuniien. lOb.") 



Die Frage der Deconiposition Aholsclier Ulpichuiiiieii erfordert 

 die Fixirung eines Ratioiialitäts - Bereiches (*R', 9t", 9\'" . . .). Ist ein 

 soleher festgesetzt, so lässt sieh eine Abelsclie Gleichung n"" Grades, 

 (leren Wurzehi .c„ . .i\ , . . . x„^, sind, aus zuei andern 'conipoiiiren. 

 wciin der mit !f,, bezeichnete Ausdruck 



i,£t./"',r, {r — o,\,..» — l} 



sich als ein Prnchict von zwei solchen Ausdrücken darstellen lässt. 



d. h. also, wenn 



'^1 = (!J'>r)" 

 wird. Da die n"" Potenzen von t,,. tu]., w'i,- dem aus den Elementen 



w , JR', 9t". 9t'", . . . 

 yeliildeten RationaUtäts - Bereich angehören, so ist die Frage der 

 Decomposition völlig hestinimt : ihre Lösung beruht auf der Zerlegung 

 von t'!, in Factoren und bildet eine der interessantesten Anwendungen 

 der arithmetischen Theorie algebraischer (-i rossen, deren Grundzüge 

 ich in meiner Festschrift zu Hm. Kummer'.s Doctor- Jubiläum aus- 

 einandergesetzt habe. Die erwähnte Frage leitet nämlich zu einer 

 aprioristisclien. arithmetisch -algebraischen Definition aller jener wich- 

 tigen Gleichungen, zu denen die neuere Entwickelung der Analy.sis 

 geführt hat, im Falle des absoluten Rationalitäts- Bereichs 9t = i zu 

 den Kreistheilungs- Gleichungen, im Falle, wo 9t die Quadratwurzel 

 einer ganzen Zahl ist, zu den Theihuigsgleichungen elliptischer 

 Functionen mit singulären Moduln. So ist für den Fall 9t =i, 

 und wenn n Primzahl ist. die Reihe der »elementaren« Abelschen 

 Gleichungen «"" Grades, aus denen sich alle Abelschen Gleichungen 

 zusammensetzen lassen, von vornherein dadiu"ch zu charakterish-en, dass 

 in dem für die Wurzeln Abelscher Gleichungen im Monatsbericht von 

 • 853 S. 372 aufgestellten Ausdrucke VllI F {a) = 1 und Nm/(Ä), 

 da.s ist W/, w_,,, gleich Eins oder gleich einer Prhnzahl sei. Dabei ist 

 jedoch zu bemerken, dass der Nachweis der Existenz solcher Gleichim- 

 gen ebenso aus der Theorie der complexen aus «'"" Wm'zeln der Ein- 

 heit gebildeten Zahlen hergeleitet werden muss. wie bei G.\uss für 

 den Fall « ;= 3 an dem oben angeführten Orte auf die Theorie der 

 quadi-atischen Tonnen verwiesen wird, um den Nachweis zu führen, 

 dass fiii- jede Primzahl p von der Form 6h + i Zahlen )\ s existiren, 

 wofiir p =- r — rs + s" wii'd, und dass demnach für jede solche Prim- 

 zahl p eine Gleichung (A') existirt. Für den F^all « = 4 besteht die 

 Reihe der elementaren Abelschen Gleichungen aus den quadratischen, 

 deren Wurzeln die Quach-atwvu-zeln aus — 1 und aus den sämmtlichen 

 Primzahlen der Form 4^- — i sind, uiul aus den biquadi-a tischen : 



(B) X* — X--\ = (p = n^ + h^), 



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SitJuiigsbei-ichte 1882. 89 



