1077 



Untersuchungen 

 über die Bestimmung von Oberflächen mit vor- 

 geschriebenen, die Krümmungsverhältnisse 

 betreffenden Eigenschaften. 



Von R. LiPSCHiTz. 



Wenn es sich darum liandelt, zu entscheiden, ob Oberflächen existiren. 

 welche m Bezug auf ihre Ivrümmungsverhältnisse eine vorgeschriebene 

 Beschaflenheit haben, und wenn verhingt wird, für den Fall der Existenz 

 diese Oberflächen zu bestinunen, so ist häufig das Mittel angewendet 

 worden, für die Punkte der betrachteten Obertläche die Richtung der 

 Normale durch den Endpunkt des parallelen Radius auf der mit der 

 Einheit als Radius inn ein beliebiges Centrum l)eschripbenen von Gauss 

 eingeführten Kugel abzubilden, und dann tue Beziehung umzukehren, 

 so dass der Ort eines Punktes der Oberfläche von dem Orte des ent- 

 sprechenden auf der CxArss'schen Kugel befindlichen Punktes abhängig 

 Avird. Die bezeichnete Umkehrung ist eine ilir die Theorie der Ober- 

 flächen fundamentale Operation. Um ihre nothwendigen Elemente 

 kennen zu lernen, kann man dieselbe auf eine Mannigfaltigkeit von n 

 Variabein, für welche das Quadrat des Linearelements gleich der 

 Quadratsumme von den Differentialen der Variabein ist, übertragen, 

 inid dabei von der Umformung des Ausdrucks ausgehen . diux'h den 

 die zugehörige Ausdehnung des Begrifl's des Krünunungshalhmes-sers 

 dargestellt wh'd. IVIit diesem Gegenstande werde ich mich zunächst 

 beschäftigen, und hierauf die Betrachtung der in unserem Räume vor- 

 handenen Oberflächen folgen lassen. 



I. 



Innerhalb der Mannigfaltigkeit der n Variabein x^, x^, . . . x„, für 

 die das Quadrat des Linearelements durch die Summe 1j]xl avisge- 

 drückt wird, .sei eine Function <^(a;, ,x,, . . . x„) gegeben; der Buch- 



91* 



