LiPSCHiTz: Untersuchungen ülici- die Bcstiniiiiiint; von Oberflächen. 1081 



dessen Suiimiandeu durcli Multiplunlion der betreffenden Quadrate in 

 die zugeordneten Grössen 



I I I 



entstehen. 



Teil nelinie nun an. dass statt d\,x,..x„_, die Variabein r,,^-,r--^„-i 

 eingetnhrt Averden. und dass die erwähnten Hnearen Avisdrücke von 

 cte, ,rÄr, , . . . f/a'„_, in lineare Ausdi'ücke von den in (12) definirten 

 Quotienten v^ ,v^ , . . v„_, verwandelt seien , dividire Zähler imd Neiuier 

 der rechten Seite von (13) durch 'ß. und erhalte die Gleichungen 



(16) -^^dxl=(P,,,(iv, + ..+ P,.„_//v„_,f + . . + (P„_,.,r/v, + . . + P„_,,„_,r/i'„_,), 

 ^ *r; + . . . + „ dx-„_, 



*'^' 1 



= — (P,,//v, + ..+P,,„_,r7v„_,r- + ..+ ~(P„_,,,r/u, + ..+P„_,,„_,^v„_,f, 

 P' P«-> 



WO mit P„ ; Functionen von ^, • ^2- . . ■ ^„_, bezeichnet sind. 



Jetzt kann man die Differentiale (ix, , dx.. .... dx„ _ , in der Weise 



durch die Differentiale r/v, , dv^, . . . f/v„ _ , ausdrücken , dass sich die auf- 

 tretenden Coefficienten nur aus den Grössen p, . p^, . . . o„_, und den 

 Grössen P„ ; zusanmiensetzen. Zu diesem Zweck werde die linke Seite 

 von (17) durch r/v,, r/v,, . . . r/v„_, dargestellt. Hierbei ist darauf zu achten, 

 dass in Folge von (i i) auch der Ausdinick 



x,dv, + x^dv^ + . . . + x„_,r/v„_i 



ein exactes Differential sein muss. und dass deshalli für jedes Paar 

 verschiedener Zeiger x und /3 die Bedingungen der Integrabiütät 



(18) -^ — — "2 — 



dv; dv„ 

 gelten. Es erhält al)er die hnke Seite von (17) die Gestalt 



, , , 1^ ^ ^-rtv,+U— + ^— r/v,r/v3 + .. + -^ dv„_, 



r/v,r/x, + ..+r/v„_,r/a'„_, dv, \dv, dv,/ dv„_, 



"^' 1 = 1 — ^- 



Sieht man auf beiden Seiten von (17) die (« — i) indepehdenteh Diffe- 

 rentiale r/v„ als allein veränderlich an, und bildet nach der Reihe die 

 durch Zwei dividirten partiellen Differentialquotienten in Bezug auf 

 r/v, , r/v, , . . . r/v„ ., . so erhält man links respectivc die diu'cli ^„ dividirten 

 vollständigen Differentiale dx,. dx^. . . .dx,,_ , . un<l es entstehen tiir ilie- 

 selben die gesuchten Ausdrücke 



