ino4 Gesaniintsitziing vom 14. DepPiiibpr. 



^„,1,) und die Gültigkeit der uiit Anwendung derp^ und ^„ ,, fiär die Diffe- 

 rentiale r&„ aufgestellten Ausdrücke. Dngegen werde ich jetzt an- 

 nehmen, da.ss die Grössen f„ und .1^^ als Fimctionen der Variabein 

 ^i! ^2 5 ■••';" helieliig gegeben seien. Dann erhebt sich die Frage, 

 ob Oberhaupt eine Mannigfaltigkeit der (// — if" Ordnung existh-e, zu 

 der jenes System von Functionen in der angegebenen Bedeutung ge- 

 hört, und es folgt die zweite Frage, wie sich innerhah) der vorhan- 

 denen Mannigfaltigkeit die Grössen .r, . a\. ■ . . x„ als Functionen der 

 Variabein ^, , ^^ . . . . ?„ bestinunen. Beide Fragen werden durch 

 Benutzung der Ausdrücke in r/^, , r7?,, ... r/^„ beantwortet, die für 

 rJx,, rli\. . . . dj-„ gefunden sind. Für jeden Ausdruck hat man die 

 Bedingungen der Integrabilität aufzustellen, und die ei'ste Frage ist 

 nothwendig zu bejahen oder zu verneinen, jenachdem sämmtUche 

 Bedingungen der Integrabilität erfüllt sind oder nicht. Sobald sie aber 

 wirklich erfüllt sind, ergiebt sich die Darstellung der Grössen jc^ als 

 Fiuictionen der Variabein ^^ durch Ausführung der Integration der 

 bezüglichen vollständigen Difierentiale. 



Die soeben hervorgehobenen Fragen bezeichnen den Gesichts- 

 punkt, von dem aus die gegenwärtige Untersuchung unternommen 

 ist. Hiernach fällt das Hauptgewicht auf die Erforschung des Systems 

 der Integrabilitätsbedhigiuigen der für die Difierentiale dx^ gebildeten 

 Ausdiäicke. Da die Functionen ^l,, ^, mit den Grössen ^, , ^^. . ■ . ^„ 

 zusammen eine Substitution bilden, durch welche eine Summe von 

 /i Quadraten in sich selbst transftu'mirt wird, und demgemäss die 

 Eigenschaft haben, die obige Gleichung (30) zu erfüllen, so erkennt 

 man leicht, dass jedes System von solchen Fmictionen erhalten vnvd. 

 indem man ein einzelnes System dieser Art mit der allgemeinsten 

 Substitution zusammensetzt, durch welche eine Summe von {n — i) 

 Quadraten hi sich selbst transformirt wird, einer Substitution, deren 



i/i — I ){n — 2) 



Goefficienten sich durch unabhängige Elemente rational 



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darstellen lassen. Hieraus folgt aber mit Nothwendigkeit, 



dass die Eigenschaften des aufzustellenden Systems von 



Integrabilitätsbedingungen in der algebraischen Theoi'ie der 



Summen von {/t — i) Quadraten ihre Wurzel haben. 



Dieses System von Litegrabilitätsl »'dingungen ist dem Inhalt 



nach ein System von partiellen Dilferentialgieichungen. in welchem 



(n — I )(« — 2) 

 die (« — i) Functionen p,, und die Elemente, durch welche 



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nach dem soelien (iesagten die Functionen /!„ i, ausgedrückt werden 



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können, also un (xanzen ivmctionen, ui du'er Abhängigkeit 



