LiPSCHiTZ: Unlersuclinnsen ühcv <li(' Bcstiiiimuni;- von OlK'rtliidien. lOö»") 



von den Variabeln ^, , ^3, ■ ■ ^„ bestimmt, werden, welche letztere 

 sieli wegeii der zwischen ihnen liestehenden Gleichung auf (/( — 1) 

 unabhängige Yariabk^ reduciren. Man kann jedoch die Integrabilitäts- 

 bedingungeu der einzelnen Ausdrücke zusammenfassend darstellen, 

 ohne ein System von un-ililiängigen Variabein einzuführen. In dem 

 Aufsatze: Untersuchungen in Betreff der ganzen homogenen Functionen 

 von n Dilferentialen, BuRrn.uiDT's Journal für 3Iatlieniatik. Bd. 70. 

 S. 77, habe icli beiläuHg bemerkt, dass sich die Integrabilitätsbedin- 

 gimgen eines mit den Differentialen d:,, (h.,, . . (f:„ gebildetiMi Ausdrucks, 



mit Hülfe von zwei (liMrakteristiken der Differentiation d und S zu 

 der Gleichung 



( I ) (5' (r///c, + . . . + a„dzj = d (ajz, + ■ • • + aß:,) 



vereinigen lassen. Offenbar l)leil)t die Bedeutung dieser Gleichung 

 ungeändert. wenn auch zwischen den Variabein c,, z^, . . . :„ eine 

 oder mehrere Gleichungen bestehen . und si«> eignet sich deshalb für 

 die zusammenfossende Darstellinig der in Rede stehenden Integrabilitäts- 

 bedingungen. 



Die Gleichungen (27) des vorigen Artikels gehen bei den Bezeich- 

 nungen 



(2) ^„.,rf^, + .4„.3^$. + . . . + -4„.,.r?e. = Lm 



in die folgende Gestalt über 



(3) rfa-, = p,A,jAd^) + . . . + p„_,A„_.,,X_,(f^^). 



Nach dem Vorbilde der Gleichimg ( 1 ) werden dann die sämmt- 

 lichen Integi-abilitätsbedingimgen der Jt Ausdi-ücke zu den n Gleichungen 

 vereinigt 



(41 ^p.AMd^) + ... + p,.^A.-uA-Ad^)) 



= d{p,A,J,ß^) + ...+ p„_,A„_,,J„_ß^))- 



Zwisclien denselben findet aber eine solche Al)hängigkeit statt. 

 dass man sie durch {n — i) zusammenfassende Gleiclnmgen von ähn- 

 licher Art ersetzen kann. Wird die den Zeichen ^ und d entsprechende 

 Differentiation auf die einzelnen Summanden nach dem Schema 

 §{p,A,,J,{d^)) = d\4,.„p,/,(./a + A,,J{pM<l&) 



vorgenommen, dio Gleicliung (4) mit A„„ multiplicirt, und von a^i 

 bis a = n summirt. .so folgt das System von (// - i) (Gleichungen 



(5) (u,i),pj,{d^) + {u,2\pjjd^) + . . +{ci.n~ilp,,_X_,(d^) + HpJM)) 

 = (<^,ihpjA^^) + (cc,2),pJ.A^^) + .. + (c^,7l-i),p,^_J„_dS^) + d{pJß^)). 

 Hier ist 



