10S() (ipsninnit.sit/.iinn vuiii 1 1. Deceinlier. 



(6) Ui„jA^_, + Ä^jA,,, + ...+A„jA,,„ = {oi,ß), 



\A„,Mi., + ^..rM.,, + . . . + ^„Ms.» = i'^^f^)-' 

 gesetzt, und man hat vermöge (-iG). T die Relationen 



(7) (a,/3),v+ (/3,< = o. 



i^.oc)^ = o. 



leli werde nun zeigen, dass das System (5) von {n — i) zusammen- 

 fassenden Gleichungen die Erfüllung des m'sprünglichen Systems nach 

 sich zieht. Multii)licirt man (5) mit einem Factor A„._, und summirt 

 nach sc A'on i bis n — i, so findet sich 



c cc « 



=2A„, (^. 1 ).p, /,(d^a+-+ 2A,., (^."- i)„p.,-, /„-.('^a + 2^«.< %i(^a)- 



« « « ' 



Es ist aber 



-X,,(^./3), = 2.4„,,(.4„.,M.., +... + ^„.„^3.,,) 



« « 



und daher nach (29). I 



-A„„(c..,s),= -aa-^^^.. -aaö'^4,., . . -aa^^i^,. + ^^i.^.- 



Weil aher vermöge der letzten Gleichung üi {26). I 



~-a^3..-a^.i,.---~aMi.» 



= A.,,^P, + A,,J^,... + A,,J^,.=.h(8^) 

 ist, so konnut 



(9) ^A„Ac^-:Ql^^,fi(^^) + ^A,„. 



Mithin folgt aus (8) die Gleicluuig 



(10) a A (^'a p. A(rfa + ■ • + a ^.-. i^^a p.- /.- e^a 



+ 2 A„,, ^(p„ 4 (rfa) + ^"^4. .. p. A ('^a + • • + '^'^..-. .< P"-. ^.-. (€) 

 = a A (dB p. ^, (^a + ■ ■ + U-^ ('^a p..- c (^a 



Hier hehen sich die in ?, multiplicirten Summanden beiderseits tbrt. 

 und es bleilit die für f ^ a geliildete Gleichung (4) übrig, womit die 

 aufgestellte Behauptung erwiesen ist. 



Das System von (n — \) zusammenfassenden Gleichimgen (5). welches 

 somit den Inbegriff' der zu erfüllenden Integrabilitätsbedingimgen vertritt, 

 schliesst ein System von partiellen Dift'erentialgleichimgen in sich, deren 

 Anzahl folgendermassen bestinnnt Avard. Wenn man statt der Grössen 

 ^tt ^2^ ■ ■ ^„{'i — •) unabhängige Variable einführt, so enthält jede der 



(n — 1) zusammenlassenden Gleichungen Determmanten 



zweiten Grades, die aus I)iff"erentialen mit den Charakteristiken d 

 und ^ gebildet sind, und liefert deshalb ebenso viele partielle Diffe- 

 rentialgleichungen: uiitliin gel)en alle [n — 1 ) Gleichungen zusanmien 



