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Die kubischen Abelschen Grleichungen 

 des Bereichs (|/^3T). 



Von L. Kronecker. 



/viiknüpfend an meine kleine Abhandlung vom 7. December will ich 

 hier an einem charakteristischen Beispiel in Kürze den ebenso über- 

 raschenden als befriedigenden Anfschluss über die arithmetisch -alge- 

 braische Natur der singulären Moduln der ellijjtischen Functionen 

 mittheUen. welchen mir zwar der Hauptsache nach schon jene Unter- 

 suchungen, deren Resultate in den Monatsberichten ^'om Februar und 

 April 1880 abgedruckt sind, gebracht,^ aber doch erst meine neuen 

 Studien ülier die Composition Abelscher Gleichungen völlig klar ge- 

 macht haben. 



Bezeichnet man mit !^ eine durch die Gleichmig <^" + <^ + 8 = o 

 oder 2(^+1 ^ ]/ — 3 I bestimmte ganze algebraische Zahl, so sind alle 

 ganzen algebraischen Zahlen des Gattungs -Bereichs (]/ — 31) durch a-\- b^ 

 repräsentirt, wenn a.h irgend welche ganze Zahlen bedeuten. Die 

 sämmtlichen kubischen Abelschen Gleichungen des Gattungs -Bereichs 

 (|/ — 31) werden erhalten , wenn man die drei Wurzeln x^ , a;, , x^ durch 

 Gleiclumgen 



{.r„ + t^"a-, + w^'x.f = % + w'% + w^-'^.y- (g„ + a)="g, + u>'%) (A=o, . ,2) 

 bestimmt, in denen w eine primitive dritte Wurzel der Einheit und jede 

 der di'ei Grössen g eine Zahl des Rationalitäts -Bereichs ()/ — 31) be- 

 deutet. Bei der Decomposition der kubischen Abelschen Gleichungen 

 des Gattungs - Bereichs ()/ — 3 1 ) handelt es sich also nach den Dar- 

 legungen in meiner vorigen Abhamllung um die Zei-legung jener Aus- 

 drücke 



in Factoren, d. h. es müssen ganze algebraische Zahlen von der Form: 



{9o + c^v. + ^'''ff^y (9o + t^^v. + '^v.) r 



in denen go,gi, g^ ganze algebraische Zahlen des Bereichs (|/ — 31) sind, 

 in Factoren von eben derselben Form zerlegt werden. 



' V^ergl. die bezüglichen Mittheilungen im §. ig, S. 67 und 68 meiner Festschrift 

 zu Hill Kimmkr"s Doc'toi'-.Iubiläuir. 



