Kronecker: Zur Theorie der elliptischen Functionen. 55 



§• I. 

 Um mittels der Formeln ( i ) und ( 5 ) zu einer Darstellung der 

 elliptischen Functionen zu gelangen , benutze ich die hierfür besonders 

 geeignete im §. 4 des vorigen Abschnittes 1 eingeführte Bezeichnung: 



(6) E( 7 g, T to)= = — — — — -, 



^o(.S > w ) > (— i) ß" COS 2'»i,7T 



deren Beziehung zu den .lAcoBi'schen Bezeichnungen in den Gleichungen: 

 El (|g , I«?) = l/x sin am (2Ä? , x) , j/x = El (j- , \ w) 



iK = -k (S-, (o , w)) 2 , w = -=- j 



enthalten ist. Hiernach wird nämlich vermöge der durch den Aus- 

 druck (2) gegebenen Definition von A(cr, r , w l , w 2 ): 



(8) El(|(<r + n^,>,)El(|(<r-T«; 2 ),> 2 ) = *(*,*, ",,">,) 



A(ö",t + v , «?,, M? 2 ) 



und es findet sich also ein Product zweier elliptischer Functionen El 

 durch einen Quotienten zweier Functionen A ausgedrückt. Aus der 

 Formel ( 5 ) resultirt demnach die Gleichung : 



(9) \ogEl(^((7 + rw l ),^w l )E\^(<T-TW 2 )^io 2 ) = --lim% 



* F»r((!„flr+J »»+vf ( ' 



(«8 = o, ± 1 , ± 2 , ±. 3 , . . . ; n=jti,±3,±5,...) 

 und diese kann, wenn 



ß 7T = a„. , b TV = b„ , C 7T = c„ 



gesetzt, wird, in folgender Weise geschrieben werden: 

 (10) log El (|(o- +T«?,),!«?,) El (|(o-— iw 2 ),~w 2 ) = — lim^- 



? = ° ^ (o r ?« 2 + i„ mv + c„v 2 ) '' 



Die Summation ist hier auf alle ganzen Zahlen m von — 00 bis + 00 

 und auf alle positiven und negativen ungraden Zahlen v zu erstrecken; 

 die Grössen er und r sind als reell vorausgesetzt, die complexen 

 Grössen u\ und a\ sind nur der Bedingung unterworfen, dass die 

 reellen Theile von u\i und u:,i negativ sein müssen, und die Grössen 

 a v ,b„,c„ sind dadurch vollkommen bestimmt, dass erstens w, und 

 — w 2 die beiden Wurzeln der quadratischen Gleichung: 



«„ + b„w + c.w* = o 



1 Sitzungsbericht vom 29. Juli 1886, XXXIX. 



