56 Sitzung der physikalisch - mathematischen Classe vom 31. Januar. 



werden sollen, dass zweitens: 



A a ir c a — K = ^ 

 und drittens der reelle Theil von c„ positiv sein soll. Denn vermöge 

 der ersten beiden Forderungen bestimmen sich a„ , b„ , c„ durch die 

 Gleichungen : 



— iw.VKir — i(w. — w.)tt 1-k 



ea„ = - -,£&„ = — — , ec„ = - - ( e =±i) , 



«', + U\ W t + W 2 Wj + iv 2 



und der Werth s = + i bestimmt sich durch die dritte Forderung 

 und durch jene Bedingung, dass die reellen Theile von vrj und wj 

 negativ sein sollen. 



Setzt man auf der rechten Seite cos 2 (///<r-f vt)tt 4- /sin 2 (ttkt -f- vt)tt 

 an Stelle von e 2i "" r+ '' r) ' 7 ' , so kommt: 



10 ) log El( 7 (o- + rw s ), --u\) El (j(<t — tw 2 ), 2 (f,) = -hmN 



und wenn man nun von den Logarithmen der elliptischen Functionen 

 El zu den Functionen selbst übergeht, so resultirt die Gleichung: 



(11) El(!(<r+TteO,T«.)El(Y(ff— twJ^^ 



in welcher das Product zweier elliptischen Functionen El durch ein 

 zweifach unendliches Product dargestellt erscheint, und zwar so, dass 

 darin sowohl die Periodicitätseigenschaften der elliptischen Functionen 

 als auch diejenigen, welche sich auf deren Transformation beziehen, 

 unmittelbar in Evidenz treten. 



Die Periodicitätseigenschaften der elliptischen Functionen El, wie 

 sie im §. 4 des vorigen Abschnittes' in den Gleichungen (22) und 

 (22*) angegeben sind, werden durch die Relationen: 



El (~(<r + 1 + Tai) , \w) = — El (j(<t + rw) , \ w) 



El ( \ (0- + (t + 1 ) w) ,»= El (± (<r + tw) , | w) 



dargelegt. Das die linke Seite der Gleichungen (11) bildende Product 

 der beiden elliptischen Functionen muss also vermöge deren Periodi- 

 citätseigenschaften ungeändert bleiben, wenn <r und r um irgend 

 welche ganze Zahlen vermehrt oder vermindert werden, und dabei 

 bleibt in der That jeder einzelne Factor des Products auf der rechten 

 Seite ungeändert. 



1 Sitzungsbericht vom 29. Juli 1886, XXXJX. 



