Kronecker: Zur Theorie der elliptischen Functionen. 09 



fl„ + ?>„ w i + c * w \ = ° > a « ~ ^ w 2 + c ^^ = O , 4a„c„ — b% = TT 2 

 mit den Grössen iv,,w 2 verbunden. Setzt man nun: 



. aw. + ß . ctw, — ß 

 7W, + o — 7«) 2 + o 



wo ä , £ ungrade und /3 , 7 grade Zahlen bedeuten , und bestimmt die 

 Grössen a„,b'„,c'„ mittels der Gleichungen: 



a'„ 4- K w '\ + K w 'i = ° > °C — ^«'2 + fC w 2 = ° > 40» c» -- K — t 2 , 



so wird: 



a K fj. 2 + 6„|Uv + e„V = alu + Kijl'v' -\- c'„v , 



r/^// 2 + ^.yv, 4- p„Vi = a„g' + big' v[ + c,'„v[ , 



wenn die Zahlen a', v', g' , v[ aus den Zahlen fx,v,g,v 1 mittels der 

 Relationen : 



7l< + &JJ. = jj.', dV 4" /3/L-t = v' 



71/,+ ^ = y' • «1+ ß# = "1 



bestimmt werden. Da /3,7 grade sind, werden offenbar p/, 1/', v[ ungrade 

 und g' wird grade. Die in der Gleichung ( 1 6) enthaltene Darstellung 

 von J/jc, jc 2 als Function der beiden Wurzeln der Gleichung : 



a„ 4- b„w 4- <\?r 2 = o 



setzt demnach jene Eigenschaft der Unveränderlichkeit bei linearen 

 Transformationen (17) in Evidenz. 



Um ganz hei den jACOBi'schen Bezeichnungen zu bleiben, muss 

 man sich die Grössen o„ , b^ , c„ auf der rechten Seite der Gleichung (1 6) 

 durch die Gleichungen : 



a„ K; + K %i Ki — c<* K? = o,a„K 2 -b„K 2 K' 2 i — c„ zf —o^a^c. — bl — ir 

 bestimmt denken , in denen K l , K[ , K 2 , K 2 die Integrale : 



_i_ i_ 11 



f d(p f~ dcp f " dcp C 2 dcp 



Y 1 — x. 2 sin 2 <p ' J j/cos 2 f + x\ sin 2 cp ' J ]/ 1 — x 2 sin 2 cp ' J bcos 2 <p 4- x 2 sin 2 



o 00 



bedeuten. 



Man kann nun x, und x 2 einander gleich nehmen. Die Grössen 

 a„,b K ,c„ bestimmen sich dann in folgender Weise: 



ttK' . tK 



<*. = —f? > K = o , (V = -=; , 



2A 2A 



und die Gleichung ( 1 6) ergiebt daher folgende bemerkenswerthe Dar- 

 stellung von j/x als doppelt unendliches Product: 



