Kronecker: Zur Theorie der elliptischen Functionen. 61 



positiven ungraden Zahlen \x. Die Gleichung kann daher auch so 

 geschrieben werden: 



(20) s/fo» + »■) = 2 /£(x» +**■)) L ,/!z°'f 2 : i4 "--). 



Der Logarithmus des Products (19) wird gleich der Differenz zweier 

 doppelt unendlichen Reihen : 



16 



.y I I0 V l ( ?=o,ia,± 4 1 



welche mit Benutzung der Relation (20) in folgender Weise darge- 

 stellt werden kann : 



11 \ l6 ^ ' 



«"'-'t S^ö* 5 •»■'=■•»■'■•■*■ 



Die zu beweisende Gleichung kann daher in der Form: 



/ \ 1 [6,. ^ 2!-I 



21 log 2 = — hm > jT- (>.,, 4 = 1,3,5....) 



geschrieben werden, und diese Gleichung geht, wenn man sich den 

 Factor 2- — 1 rechts nach Potenzen von p entwickelt denkt, in folgende 

 über : 



(22) i = — lim pV 3- o.u = u 3 , 5 ,...). 



Diese Gleichung kann nunmehr mit Hülfe des von Dirichlet aufge- 

 stellten Theorems, 1 oder auch mittels jener Methode verificirt werden, 

 welche ich in meiner Mittheilung vom 12. Mai 1864 angewendet habe. 2 

 Die letztere Methode, welche ich hier benutzen will, beruht auf der 

 üblichen Art der Summation von Reihen mit Hülfe von Integralen. 

 Da nämlich offenbar die Ungleichheiten: 



» 1 /"" ' dx . ' 



< rr: < 



2\' + e (13 I .,2\'+e 



( X »+ ( ß + 2f) " ; 2 J t K * + rf+t ( v 4. ^) 



1 C dx 



< 7=1 < 



(A 2 +i)' +? J ( A 2 +.r 2 ) l+? X 2+2? " 



bestehen, so ergeben sich für die Summe auf der rechten Seite der 

 Gleichung (22) die Ungleichheitsbedingungen: 



— 1 C dx ^ 1 1 r°° dx 



A 2 + 2 * J (A» + a») ,+ « T(A 2 +u 2 )' +s (A 2 + !) ,+? JX\^ + x l f^ , ' 



(^ = 1,3,5,...) 



1 Recherches sur diverses applications de l'analyse infinitesimale a la theorie 

 des nombres, §. 1. Creixe's Journal, Bd. XIX, S. 326. 



2 Monatsbericht vom Mai 1864 S. 292. 



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