123 



Zur Theorie der elliptischen Functionen. 



Von L. Kronecker. 



(Fortsetzung der Mittheilung vom 31. Januar 1889, VI.) 



XIII. 



Im Verfolg der Untersuchungen, über welche ich in der Classen- 

 sitzung vom 3 1 . Januar d. J. vorgetragen habe , bin ich zu überraschend 

 einfachen Resultaten gelangt, welche den Inhalt meiner verschiedenen, 

 auf die Theorie der elliptischen Functionen bezüglichen Mittheilungen 

 vom 29. October 1857, vom 26. Juni 1862, vom 22. Januar 1863 

 und vom 30. Juli 1885 in erwünschtester Weise vervollständigen und 

 ergänzen. Es ist namentlich die für die Theorie der singulären Mo- 

 duln wichtige Aufgabe der Ermittelung des Grenzwerthes von: 



TT- (m, n= AI, ±_i, _+3, . ..) 



P 2ir C?(ä»w a + bmn + en 2 ) +! 

 für p = o, deren vollständige Lösung mir jetzt geglückt ist, während 

 ich mich noch in der Mittheilung vom 30. Juli 1885 damit begnügen 

 musste , den Grenzwerth in dem Falle zu bestimmen , wo a, b , c reelle 

 ganze oder rationale Zahlen sind. In der That habe ich auch erst 

 aus meinen neueren Studien über die eigentliche Bedeutung des Irra- 

 tionalen 1 die Überzeugung geschöpft, dass die vor vier Jahren bei 

 Behandlung jener Frage noch festgehaltene Unterscheidung sich bei 

 genauerer Untersuchung als unwesentlich erweisen, und vielmehr eine 

 allgemeine und vollständige Bestimmung jenes Grenzwerthes möglich 

 sein müsste; dies hat sich vollkommen bewährt, und ich will im 

 Folgenden die Methode auseinandersetzen, mittels deren mir die 

 Werthbestimmung gelungen ist. 



§• i- 

 Ich beginne mit der Herleitung der Transformationsformel : 



— 2itu(a„m- + li„mn +<•„»■) + z(m<r + m)iri . — — (o ( ,(t — »)- — b (t + n)(c + >n) + e (cr + m)') 



(1) 2* =-2* " 



tun U m?n 



(m,n = o, ±. I, .+ 2, ±. 3, . . .) 



1 Zur Theorie der allgemeinen complexen Zahlen und der Modulsysteme, 

 arl. XXXVI11 und flgde. Sitzuhgsbericiit vom 26. Juli 1888. XXXV11. 



