Kronecker: Zur Theorie der elliptischen Functionen. (Forts.) 129 



— : 2 



<p = sin m<nr cos iittt sin (irvr + nr) iz , 



er 



■J/ = cos nvsit sin wnr sin (m<r + ?zr) 7r 



T 



ist, so dass <^> und \J/ für alle Wertlie von er und t endlich bleiben. 



Der mit P bezeichnete Ausdruck wird hiernach gleich: 

 i i 



o o 



und da offenbar sowohl der mit er als auch der mit t multiplicirte 

 Integralausdruck für alle Werthe von er und r endlich bleibt, so 

 nähert sich der eine der beiden Theile. in welche P hier zerlegt, 

 ist, mit absolut abnehmendem <r, der andere mit absolut abnehmen- 

 dem t dem Grenzwerthe Null, und es ist daher: 



( 5 ) limP=o. 



ff = 



T = 



Um den Grenz werth von P, für p = o zu ermitteln, benutze ich 

 die Gleichungen: 



r(i + p) = i+pr'(i + fy), ho g -M ? =i + J\og±\ z ' , 



in welchen r' die Ableitung von T bedeutet und $ , $'. positive echte 

 Brüche sind. Dann wird P, gleich: 



i i 



27rr(i+p) 



feg-*+/t*<* dt» -l [Sz-^^(\og-\"d^ 



und da jeder der beiden mit p multiplicirten Theile für beliebig 



kleine positive Werthe von p offenbar endlich bleibt, so ergiebt sich 



das Resultat: . 



/<r\ lim P, = o . 



(6) ,=o 



Zur Bestimmung des Grenzwerthes, welchen Q für ct = o,t = o 

 annimmt, mache ich von der Gleichung: 



F{x+(T,y + T)-F{x,y) = crP,(x + ^<r,y + b,t) + T F 2 (x + & a <r,y + s 2 t) 



Gebrauch , in welcher F, , F 2 die beziehungsweise nach x und y ge- 

 nommenen Ableitungen von F(x , y) und e>, , e, , 8 2 , s 2 positive echte 

 Brüche bedeuten. Benutzt man nämlich diese Darstellung der Differenz 

 F(x + <r , y + t) — F(x , y) für die der Differenz : 



e ^ f '^ + "^ r+n) -.A f ' { "'-"\ 



