Kronecker: Zur Theorie der elliptischen Functionen. (Forts.) lob 



der Formel (77) in Gauss' Abhandlung über die hypergeometrische 

 Reihe : ' 



- +(0) = -i-(.)=/(^ + ^) <** =J(~ - 7)«--*. 



o o 



und es kann daher -^(o) oder r'(i) als Aggregat von Integralen in 

 folgender Weise dargestellt werden: 



I (e~* — 1) dlogz + I e~ z dlogz—\ <21og(i— ?~~) — I dlog — — . 

 110 



Da aber die beiden letzten Theile dieses Ausdrucks sich gegenseitig 

 aufheben , so wird : 



r _ n 



(12) r (1) = I (e ~ — 1) dlogz + I e ~ dlogz . 



1 



Benutzt man nun die beiden mit (11) und (12) bezeichneten Dar- 

 stellungen von log (p + qi) und r'(i) sowie die Definitionsgleichung: 



/OO 

 e-®+M* dlog z , 



Las (übrigens bekannte) Resultat: 

 (13) - li. (e-« , +"'>) = r'(i) - log (p + qi) + f (1 - *-»+««) dlogz , 



so erhält man das (übrigens bekannte) Resultat: 



mit Hülfe dessen der Ausdruck unter dem Zeichen »lim« auf der 

 rechten Seite der Gleichung ( 1 o) in folgenden übergeht : 



f( _ 4"'/'(r.T) \ 



2r'(i)— 2log2jr + Ki — e lo B* Jdlogz. 



o 



Da nun offenbar der Grenzwerth des Integrals: 



i-e ]o % s Jdlogz, 



für er = o , t = o , gleich Null ist, so ergiebt sich schliesslich für den 

 gesuchten Grenzwerth von T(p , u , t) die einfache Bestimmung: 



(14) lim T(p, 0-, t) = 2r'(i) — 2 log 27r. 



r = 

 r = 



1 Gauss' Werke, Bd. III. art. 35. S. 159. 



