20b Sitzung der physikalisch -mathematischen Classe vom 14. März, 



Man hat hiernach die folgenden beiden Darstellungen der In- 

 variante A'(o , o , u\ , WJ 2 ) : 



, n=oo , u 



(21) A'(o , o , w, , W 2 ) = dW 2 2 s » r '° n ' ~ "" " " ) ' 



(22) A'(o , o , u\ , w 2 ) = 4.W 2 e e lim Y\ ?" 1 '' ' ' > 



^—0 n 1 a 



welche den Invarianten -Charakter deutlich an sich tragen. Die auf 

 a bezüglichen Summationen und Multiplicationen sind, wie oben, auf 

 alle diejenigen Grössen zu erstrecken, welche die ersten Coefficienten 

 der einander aequivalenten Formen: 



( (, 5 K > O ! [ (l ! ^0 > C o) > (°o' > ^o" > r ") > • • • 



bilden, und die dadurch constituirte Formenclasse ist einzig und 

 allein der Bedingung unterworfen, dass der reelle Theil der Form 

 a Q x 2 + b xy -\- c y~ eine positive Form sein muss. 



Geht man schon in der Formel (19) von den Logarithmen zu 

 den Grössen selbst über, so resultirt die Product-Darstellung: 



» = ep _ t _ ? - — (f(m,n))~ l ~t 



(23) A'(o, o,w l , w 2 ) = 4.1^ e lim Y\_ e " [\ e ' ' 



, n 1 



wo die Multiplication im zweiten Product auf alle ganzzahligen Systeme 

 m,n mit alleinigem Ausschluss des Systems m = o , n =0 zu er- 

 strecken ist, und auch aus dieser Darstellung erhellt der Invarianten- 

 Charakter der Function A'(o , o , u\ , w 2 ). 



Die hier unter (10). (21). (22), (23) gegebenen Darstellungen der 

 Function \'(o , o , ti\ , u\) zeichnen sich auch dadurch aus, dass sie 

 deren Verhalten in der Nähe der Grenzen ihrer Existenz klar legen. 

 Diese Grenzen sind nur durch jene Bedingung, dass der reelle Theil 

 der Form a x 2 + b xy 4- c if positiv sein muss oder durch die gleich- 

 bedeutende Bedingung, dass die reellen Theile von u\i . ir.,1 negativ 

 sein sollen, bestimmt. Dass innerhalb der so bestimmten Grenzen 

 A'(o , o , w 1 , w 2 ) endlich und von Null verschieden ist, leuchtet eben- 

 falls unmittelbar aus der Productform (23) ein. 



Es verdient wohl noch hervorgehoben zu werden, dass in allen 

 obigen Formeln speciell w, = w 2 genommen werden kann. Dann wird: 



b = o , 4« c = 1 , w, = w 2 — , 



ferner bei Anwendung der JACOBi'schen Bezeichnungen der vollstän- 

 digen elliptischen Integrale: 



iE' h" K 



