Kronecker: Zur Theorie der elliptischen Functionen, (Jorts.) 217 



die Anzahl der verschiedenen Classen quadratischer Formen 

 der Discriminante — A bestimmt werde, sondern es wird, 

 gewissermaassen entgegengesetzter Weise, in den Gleichun- 

 gen (20) und (21) vielmehr die Summirung der Reihen auf 

 der linken Seite durch die Zahl, welche die Classenanzahl 

 der quadratischen Formen der Discriminante — A angiebt, 

 gefunden; und dies geschieht offenbar insofern mit Recht, als die 

 Anzahl der Rechnungsoperationen, welche zur Ermittelung der redu- 

 cirten Formen (<i , h , r) der Discriminante — A und also auch der 

 Zahl K( — A ) führt, nur proportional Y\ log A ist, während die 

 directe Berechnung der Summe auf der linken Seite der Gleichung (2 1) 

 eine der Zahl A selbst proportionale Anzahl von Rechnungsoperationen 

 erfordert. 1 Dazu kommt, dass die Aufstellung der reducirten Formen 

 ('/ . b, c) , wie sich oben gezeigt hat, nicht bloss den Werth des ersten 

 schon von DraicnLET ermittelten, sondern auch den Werth des zweiten 

 Coefificienten in der Entwickelung von: 



27T Z 



n ) \ n 



liefert, und es ist dabei hervorzuheben, dass aus den obigen Formeln 



ein besonders einfacher angenäherter Werth der Reihe: 



A \l/Ä7 }/\ 



I lo^ - — 



>t J 11 n 



und also auch der mit H (— A ) bezeichneten Reihe: 



A u \ log n 



hervorgeht. 



Es ist nämlich oben gezeigt worden, dass y>( A ) — C gleich 

 dem Mittehverth von: 



7Tj/A , VÄ 



— 2 



logH(i-e 2m ' hm )(i-e 2nW3m ) 



6c e 



ist, und dass der letzte Term dieses Ausdrucks seinem absoluten Werthe 

 nach stets kleiner als: 



. I 2»', m I 



4k 



1 Die beiden von 1S34 und 1837 datirten. im II. Bande von Gauss' Werken 

 abgedruckten Fragmente, in welchen die von Dirichlet in jener Zeit gefundenen und 

 sehen kurz darauf , im Mai eS;;S. veröffentlichten Formeln zur Bestimmung der Classen- 

 anzahl, wenigstens für negative Determinanten, hergeleitet werden sollten, sind betitelt: 

 »De iiexu inter multitudineui classium, in c|u.-is formae binariae seeundi gradus distri- 

 buuntur, earumque determinantem«. Gauss scheint hiernach in jenen Formeln nicht 

 sowohl eine Besti iung der Classenanzahl gesehen zu haben, als dien nur die Dar- 

 stellung eines Zusammenhangs derselben mit den anderen, durch die Formeln gegebenen 

 Ausdrücken. 



