Kronecker: Zur Theorie der elliptischen Functionen. (Forts.) 259 



§•2. 



Bezeichnet man, wie im art. VIII und IX mit H(D), H(D) 

 beziehungsweise die Reihen: 



h = 



D\ i n ^(D\\ogh 



und, wie im art. XVII, mit §(D) den nach p genommenen Differential- 

 quotienten von: 



'D\ (V\D\\ +i 



für p = o , so ist : 



*¥©ffl 



*<"> = -^ + t"»«PI. 



und es ergiebt sich, wenn man die im art. VIII mit (51). bezeichnete 



Gleichung : 



( 9 ) Tfl"(I>) |/-D = 2ttK(D) 



berücksichtigt, dass modulo p 2 die Congruenz: 



besteht, d. h. dass der Ausdruck auf der rechten Seite das Aggregat 

 aller derjenigen Glieder der Entwicklung des Ausdrucks auf der 

 linken Seite nach steigenden Potenzen von p darstellt, welche nicht p- 

 oder höhere Potenzen von p enthalten. 



Nach der oben angewendeten Methode ergiebt sich ferner, dass: 



2° (?) *~ ,_e = 22 ■< ( k ®'~ ! - 2 % ®~ 1 "' 2°*— f 



* = I \ "■ / f k=l [ X' = I 



wird, wo die durch N angedeutete Summation auf alle Divisoren Q, 



t 

 von Q zu erstrecken ist. Da modulo p 2 die Congruenzen: 



*=i f f t 



in dem oben dargelegten Sinne, bestehen, so resultirt, wenn zur 

 Abkürzung : 



(ii) X%Qi~ l =S{Q), X^Qr'logQ f ' = S(Q) 



gesetzt wird, die Congruenz: 



( I2 ) P 2 {j-)k- I - i = ^ + pC)S(Q)-pS(Q) (mod./r), 



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