Kronecker: Zur Theorie der elliptischen Functionen. (Forts.) 2()1 



(15) 27T(l + 2pC + 2p log 2w) S (Q) — 2TTpS (Q) 



"r «[) <■[ 



Nun hat sich oben gezeigt, dass die Ausdrücke (7) und (13) 

 einander modulo p 2 congruent sind, und schon am Schlüsse des §. 1 

 hat sich ergeben, dass die Werthe der beiden Ausdrücke (7) und (8) 

 an sich, d. h. nicht bloss modulo p 2 , mit einander übereinstimmen; 

 es folgt demnach, 



dass die beiden Ausdrücke ( 1 3) und (15) einander modulo p 2 



congruent sind . 

 und deren Vergleichung liefert unmittelbar die gesuchte Darstellung 

 der Function <p für beliebige Discriminanten D durch die Invarianten A': 



welche mit der specielleren im art. XVII (11) angegebenen für den 

 Fall D = D Q , Q = 1 übereinkommt. 



§•3- 

 Die Gleichung (16) ist leicht in folgende zu transformiren : 



(, 7 ) ö( i)) = c_ ' ^VinTTm 2 log -^ a'(o,o, «,<",<), 



in welcher unter </>(Q) in der üblichen GrAUSs'schen Weise der Werth von: 



9. 



zu verstehen und die Multiplication auf alle verschiedenen, in Q ent- 

 haltenen Primzahlen zu erstrecken ist. 



Die eigentliche Bedeutung dieser Relation tritt klarer hervor, 

 wenn man den GAtrss'schen Begriff der »Ordnung« der verschiedenen 

 zu einer Discriminante gehörigen Formenclassen zu Hülfe nimmt. 

 Vereinigt man nämlich alle diejenigen quadratischen Formen: 



ax 2 + bxy + cy 2 



in einer und derselben »Ordnung«, für welche die drei Coefncienten 

 a ,b,c einen und denselben grössten gemeinsamen Theiler / haben. 

 so bilden die Formen: 



{a t Q[, b t Q;,c t Q;) (f= !)2 ,...) 



der Discriminante I) ein vollständiges System nicht aequivalenter 



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