Kronecker: Zur Theorie der elliptischen Functionen. (Forts.) 26ö 



es besteht, wenn D irgend eine Fundamental -Discriminante ist und 

 P, Q, R irgend welche ganze Zahlen bedeuten, die Relation: 



(20) M(]/D P 2 Q 2 R 2 , PQ) = M (YD Q 2 R 2 , Q) . 



In der Gleichung (19) ist daher Mfl/5,0 durch IVlIy Y'D , 1) 



zu ersetzen, und dieselbe nimmt, wenn dies geschieht und noch 

 mit d der zu t complementäre Divisor bezeichnet wird, die Form an: 



(21) <p(Q){K>(D Q 2 )-C) = ^e l dlogM(VD^T,i) (*=Q), 



d,t 



auf welche die im art. XI, §.2 hergeleiteten, einander correspon- 

 direnden Relationen: 



f(Q) = ^^(d) , Ä(Q) = %fid) (dt=Q) 



,1,1 d 



unmittelbar anwendbar sind. 



Demnach folgt aus der Gleichung (21), dass: 



Q log M (VW ,i) = ^<p(d){$ (D d 2 ) - C) 



d 



ist, wenn die Summation rechts auf alle Divisoren d von Q ausgedehnt 

 wird, und hieraus geht, wenn von der Relation ^<p(d) = Q Gebrauch 



d 



gemacht wird, die Gleichung: 



(22) C+logM(VDZW, i) = ^<P{d)£>(Dod 2 ) 



hervor, welche die Darstellung des Mittelwerthes der Invariante (18) 

 für die primitive Ordnung einer beliebigen Discriminante D Q ! durch 

 die den verschiedenen Th eiler - Discriminanten D d 2 entsprechenden 

 Functionen § enthält. Die Werthe dieser verschiedenen Functionen £ 

 lassen sich aber, wie im folgenden Paragraphen gezeigt werden soll, 

 sämmtlich auf den der Fundamental -Discriminante entsprechenden 

 Werth § (-Do) zurückführen, und es kann damit eine Darstellung von 

 log M (j/D Q 2 , 1 ) durch Ö(Z> ) allein erlangt werden. 



§■4- 

 Zu dem angegebenen Zwecke gehe ich von der Gleichung: 



aus. in^welcher die Summation über alle Primzahlen p zu erstrecken 



