Thiesen: Theorie der pendelartigen Schwingungen. 283 



dadurch gefunden werden, dass man die Grössen r o , A* , Y durch 

 ihre Differentialquotienten ersetzt, oder auch unter Beibehaltung' der- 

 selben Integrale, wenn man bedenkt, dass z. B. 



(36) A 2 p 2 4 / ' = u' X u'e 2 ' T (h — u" X ue nT dr 



wird, und dass die höheren Differentialquotienten durch (10) linear 

 mittels \l , \J, ■', X nebst seinen Differentialquotienten ausgedrückt werden 

 können. 



Die Ausführung der Quadraturen hängt natürlich von der Form 

 der Functionen T und X ab; doch gibt es einen besonders einfachen 

 und zugleich wichtigen Fall, aufweichen wir noch näher eingehen. 

 Lassen sich nämlich die Grössen T und X nach Potenzen von e~ Xr 

 und nach ganzen positiven Potenzen von (p und </>' entwickeln, so 

 können alle vorkommenden Integrale auf die Form 



(37) Jl.a = \l'-'^,i'"ll' n <h 



zurückgeführt werden, wo m und// positive ganze Zahlen bezeichnen, 

 also auf Integrale, welche sich in endlicher Form ausführen lassen. 



Zur Berechnung der J, p nn kann die folgende Formel dienen, welche 

 man durch Differentiation und Integration von e~* pT u m u' n erhält: 



(38) r-'i"u'"u" 1 = mJ*_ un+1 -«*».£+,,,,_, - {2n + p)XJ^„. 



.Stellt man diese Gleichung für alle Werthe von n auf, welche 

 einem constanten 



(39) s '=?/> + )/ 



entsprechen, so ergeben sieh die (s + 1 ) Werthe der «//_„,„ durch Auf- 

 lösung des Systems von (s + 1 ) Gleichungen. 



Eine andere Beziehung erhält man aus der identischen Gleichung: 



(40) //'//'+ 2A?/w'+ a-u 2 = A 2 p 2 e~"' T , 



falls man dieselbe mit e~ xpT u m u' n dr multiplicirt und integrirt: 



(40 Jin + , + 2aj: +i , „ +i + *-j: +2 , n = a 2 p 2 j': + n \ 



Durch Verbindung von (38) und (41) erhält man: 



(42) sJi_ u „ + , - pXJ^ „ = A*fnJi±l „_, + e-^u m u' n ■ 



(43) (2s + p) *j£ „ 4- sct 2 J^ +u n _, = A'p* rnJlll »-. — € ~' p '«" '«'" '. 

 und ferner, falls 



(44) Nl = s 2 cc + p (2s 4- p) A 2 

 gesetzt wird, 



Sitzungsberichte 1889. 27 



