Kronecker: Zur Theorie der elliptischen Functionen. (Forts.) oll 



welche in eben dieser Form schon für die Function A(er, r, w, , u\) be- 

 nutzt worden sind, ergiebt sich unmittelbar, dass: 



i 

 A(<r (,) , r ( ", a«, 6W, <£>) = e T " A(o-, r, a , b ,c ) , 



A(er (2) , t (2) , a™, bf, ef ) = p 7 " A(<r, r, a OJ 6 , c ) , 



wird, wenn: 



o-<" = o--r, t' ! » = t, a y=a o +b + c , bM = b +2C e , c^ = c , 

 o- <2) = - r , t ,2) = o- , <£> = e , 5< 2) = - b , C = a 



ist. Hieraus folgt aber, dass allgemein: 



h . 



(7) A(<r', t', o ', &o, r ') = e 6 A(er, r, r/ , t> , r Q ) 



wird, wenn die Transformationsrelationen: 



<j'=c,<j+x't, t'= /3er + yS'r , ot,8' — ot'/3 = 1 , 

 «g = a o£ + 6 ota'-(- r? a' , 



(8) 60= 2fl a/3 + &„(*#'+ *'ß) + 2C a'ß', 



( ' = a fr + bß$'+cß'\ 



erfüUt sind, in welchen ei, et', /3 , £' ganze Zahlen bedeuten. Demi 

 die beiden Gleichungen (6) entsprechen den speciellen Fällen: 



et = 1 , a'= 1 , 3 = o , ß'= 1 , 



a=o, a'= — 1, /3=i, /3'= , 



und aus diesen beiden »elementaren« Substitutionssystemen lassen sich 

 alle zusammensetzen. Demnach kann der Factor auf der rechten Seite 



der Gleichung (7) auch nur ein Product von Factoren r" . , ■■'- , wie 

 sie in den Gleichungen (6) vorkommen, d. h. also nur eine zwölfte 

 Wurzel der Einheit sein, und es kann daher h in der Gleichung (7) 

 nur einen der Werthe: 



o, ±.1, +_ 2 , ±3, ±4, ±5, 6 

 haben. Die zwölfte Potenz der Function A(c, r, a , b , r u ) bleibt folglich 

 bei jeder der bezeichneten Transformationen ungeändert. 



Die Beziehung zwischen zwei durch lineare Transformation aus 

 einander entstehenden S-- Reihen wird durch die in der Gleichung (7) 

 enthaltene Invarianteneigenschaft der Function Alpha in der elegan- 

 testen Weise dargestellt. Diese Function genügt der partiellen 

 Differentialgleichung : 



, 3 2 A 3 2 A 3 2 A , N2 



w 7^—- 1W t\ — f; — \- ~ ~ = ( (er + tw) tti ) A , 



der der derdr dr ör ^ > 



und ihr Logarithmus lässt sich, wie ich in einem späteren Abschnitte 



