Kronecker: Zur Theorie der elliptischen Functionen. (Forts.) 



u\ — w. 



:U3 



2*1 



2T + 



'■m + i und wj = ie, + »' 2 



nehme. Hiernach verwandelt sich jene Reihe (11) in folgende: 





— _-a (-«', (m + w + l) s + (<r + ™0 (»» + " + 0+ T M > ( '' 



l)-' + (r — Ttt',)(m- 



(m = o,±i,JL2,±3,...; i = '±i,±3,±j,...) 

 in welcher an Stelle von v + i offenbar 2 « gesetzt und dann auch 

 in Beziehung auf n von — oo bis + oo summirt werden kann. Als- 

 dann nimmt aber für jeden bestimmten Werth von m + 211 die andere 

 im Exponenten vorkommende Verbindung, m — 2», genau alle diejenigen 

 ganzzahligen Werthe an, welche dem Werthe von »1 + 211 modulo 4 

 congruent sind. Es ergiebt sich also schliesslich, dass die Reihe (1 1) 

 sich in den Ausdruck: 



; ° 22 



( (4« + r) a "^ + ( 4 n + r) (<r + ™,) W [(4*1 + rf ^ + (4» + r) (0— tw), Jt 



transformiren lässt, in welchem die auf n bezüglichen Summationen 

 auf alle ganzen Zahlen von — 00 bis — 00 zu erstrecken sind. Dieser 

 Ausdruck ist offenbar • eine Summe von vier Producten je zweier ein- 

 lacher (jAcoBi'seher) S-Reihen; dass derselbe bei den Transformationen, 

 welche im §. 1 mit (8) bezeichnet sind, umgeändert bleibt, tritt in 

 seiner ursprünglichen Gestalt (1 c) deutlich hervor, aber es lässt sich 

 auch an der Form, in welcher er hier erscheint, mit Hülfe der 

 Relation (12) darthun, wenn man die Reihe: 



" = + ~ |(4>! + >■)- — + (4« + r) (<r + Tte)|iri 



durch die ihrem Werthe nach damit übereinstimmende: 



-2 2 ^ 4 " ; 



ersetzt. 



Bezeichnet man diese Reihe zur Abkürzung mit R r {v , t , ic), 

 so ist: 

 R (<7 ,t,w) = ^3(2 (<r + rir) , 4») , R 2 (<r , r , to) — &,(a (<r + rw) , 410) , 



(—"+" + '")'■' '_ / , „ \ 



Ä,((T,T, «•) =i? 3 (-(T, — T, ({•) = f V4 ' S- 3 (^2(0- + Ttt;) + W,4lPJ, 



und durch die Formel: 



<? c ° ^R r {<T, 7,1V,) R r {<7, T,W 2 ) 



, \ ^> — (o (l m'' 4- 6 m?i + (•„«") Jt -)- 2(trm -+- tt») m 



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Sitzungsberichte 1889. 



