Kronecker: Zur Theorie der elliptischen Functionen. (Forts.) 315 



in welchem, wie früher, a m 2 + b mn + c n 2 = f{m , n) gesetzt ist, und 

 welcher seine Invarianteneigenschaft klar zeigt, wird also gleich dem 

 aus einfachen 3-Reihen gebildeten Ausdruck: 



(18) 



yS- 2 (o , w,)3 2 (o , w 2 ) + 3 2 (o , 4w>,)3 2 (o , 4u\) + S- 3 (o , 4^)3-3(0 , 4W 2 ) 



(x^j'xjXj) 6 3 3 (o , w t ) 3-3(0 , u\) 

 und dieser lässt sich mittels der Relationen: 



3 (o , w) (3, (o , wj) l = Yit, 3 2 (o , w) (3, (o , wj)~ ' = j/x , 

 23, (o , 410) = 3 3 (o , 16) — 3 (o , w) , 

 23 3 (o , 4«)) = 3 3 (o, w) — 3 (o , w) , 



in welchen der Einfachheit halber die Indices bei w, x, x' weggelassen 

 sind, als explicite algebraische Function von x, und x 2 folgender- 

 maassen darstellen: 



1 + j/x,x 2 + Vx[x 2 



I 



2(x, X 2 X,X 2 ) 6 



Die bemerkenswertheste Anwendung findet die Formel ( 1 5) bei 

 der Summirung jener verallgemeinerten GAUss'schen Reihen, welche 

 ich im art. X eingeführt habe. Wird nämlich in der dort mit (5B) 

 bezeichneten Gleichung : 



q = e~^ 5 



gesetzt, so lässt sich die unendliche Reihe mittels der Formel (15) 

 unmittelbar durch algebraische Functionen von singulären Moduln aus- 

 drücken, und die Summation aller jener GAuss'schen Reihen wird 

 demgemäss für den Fall singulärer elliptischer Functionen und solcher 

 allgemeinerer 3 -Quotienten, wie sie a.a.O. vorkommen, vollständig 

 ausführbar. Ich werde dies in einer folgenden Mittheilung eingehend 

 darlegen. 



§•3- 

 Die Methode . welche ich im art. III zur Umwandlung des Products : 



( 1 ) / (u " + '" 2) m ' 3 (er + rw t , »,) 3 (er - rw 2 , w 2 ) 



in eine RosENHAiN'sche 3 -Reihe benutzt und in entgegengesetzter 

 Richtung im vorigen Paragraphen angewendet habe, führt auch zur 

 Transformation des allgemeinen Products: 



(2) e yi ' 2 ! ' ' T ' "-' 3(ct i + t,w i ,w 1 )3(c- 2 + t 2 w> 2 ,«> 2 ) 



