Kronecker: Über symmetrische Systeme. 31)3 



und aus der oben in Nr. VI aufgestellten Compositions- Gleichung 

 resultirt daher die folgende: 



...(^)...(c,.)...(o... = (^ r, )fe)(«r , ), 



deren linke Seite sich von derjenigen der Gleichung in Nr. VI nur 

 dadurch unterscheidet, dass hier die zwei Systeme fehlen, die dort 

 auf der linken Seite am Anfang und am Ende stehen. 



Man kann nun wiederum in derselben Weise die Reihe der 

 Systeme auf der linken Seite dieser neuen Compositions -Gleichung 

 von den beiden am Anfang und am Ende stehenden Systemen be- 

 freien, und, indem man so fortfährt, gelangt man schliesslich zu einer 

 (deichung: 



u,,)^...(,;r , )...(c r, )(^,)(-r n )...(^' ) )..., 



welche zeigt: 



dass das ursprüngliche System (z ;/ ,) selbst, d. h. also jedes 

 beliebige symmetrische System sich als Resultat der Com- 

 position einer Reihe von Systemen darstellen lässt, von 

 denen das mittlere ein System (d ik ) ist, während die übrigen, 

 zu beiden Seiten des mittleren, lauter Systeme (fly,) , {b a ) 

 sind, und zwar in solcher Aufeinanderfolge, dass je eines 

 der beiden von dem mittleren Systeme gleich weit abstehen- 

 den das transponirte des andern ist. 

 Hierbei kann sogar angenommen werden, dass die Diagonalelemente 

 d H . des mittleren Systems ihrer Grösse nach aufeinanderfolgen, d.h. 

 also, dass darin für i<.k stets <l ii 'Sd k - k ist: denn die zu solcher An- 

 ordnung etwa erforderliche Vertauschung der Diagonalelemente kann 

 durch Composition mit Systemen (a#) , (e«. '),(&*)> (b a '), wie in 

 Nr. IV angegeben. Weise bewirkt werden. 



VIII. Rezeichnet man zur Abkürzung die Determinante des Systems 

 (z ik ) mit Z, und in analoger die Hauptsubdeterminante: 



\z sh \ <f,h = m, m +!,...«) 



mit Z m , sn ist: 



dZ, c)Z 9'Z, _ 



- - 3*,,' 3 " d^ 2 -dz~dzZ'-- n - Znn - 



Bildet man nun aus dem Systeme (:,,,) ein neues: (c,)). indem man 



die zweite Horizontalreihe mit Z. multiplicirt und zu derselben die 



vZ, \Z, 



dritte, mit - multiplicirt, die vierte, mit . - multiplicirt u. s. I. 



addirt . d. h. also, indem man: 



— -> ,i. • -":'• 

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