Kronecker: Über symmetrische Systeme. 35/ 



Z m > o ist. Endlich kann man einerseits vom Punkte (£ tt ) zu (O 

 und andererseits vom Punkte (£,*) zu (£4) so gelangen, dass Z„ ; in 

 dem einen Falle durchweg negativ, in dem anderen durchweg positiv 

 bleibt. Anstatt des Übergangs auf dem Wege: 



kann also der tibergang auf dem Wege: 



geschehen, bei welchem die Mannigfaltigkeit Z m = o an einer Stelle 

 überschritten wird, wo jeder der anderen Wertlie . . . Z w _, . Z m+l , . . . 

 von Null verschieden ist. 



Die vorstehende Deduction gilt, natürlich mit Weglassung von 

 Z m _ x , auch für den Fall m = i, und man sieht daher, dass nur zu 

 untersuchen ist, 



ol> der Durchgang durch eine der Mannigfaltigkeiten Z m = o 

 an einer Stelle, wo eine Determinante Z m ihr Zeichen 

 wechselt, und alle übrigen Determinanten von Null ver- 

 schiedene Werthe haben, eine Änderung des Werthes der 

 Summe (S) bewirkt. 

 Es ist nun klar, dass bei einem derartigen Durchgang durch die 

 Determinanten -Mannigfaltigkeit Z, = o der Werth der Summe (S) sich 

 um 2 Einheiten ändert, da das erste Glied: 



sgn. Z l Z 2 

 eine solche Änderung erfährt . alle übrigen Glieder aber ihren Werth 

 beibehalten. 



Aber beim Durchgang durch eine der Subdeterminanten- 

 Mannigfältigkeiten Z t = o , Z.^ = o ..... Z tl = o erfolgt keine Änderung 

 des Werthes der Summe (S). Denn für jeden der Wertlie 



m = 2,3,...« — i 

 wird, wie oben in Nr. VIII gezeigt worden ist: 

 Z m _jZ m+ , moduloZ m 



einem negativen Quadrate congruent; für Z m = o ist daher, wenn, 

 wie es bei dem Durchgang durch Z m == o der Fall ist. die Werthe 

 von Z m _, und Z m+r von Null verschieden sind: 

 sgn. Z m _, = — sgn. Z„, +I , 



und, da dieselbe Relation für die beiden dem Durchgangspunkl be- 

 nachbarten Punkte (4i) • &) besteht, während Z„, für (£#) positiv, 

 für (^.) negativ ist, so ist für beide Punkte, so wie für alle die- 

 jenigen, welche auf dem Wege von (£,,,) zu (<^.) passirt werden: 



syii. Z m _ x Z m + sgn. Z m Z m+l =■ o . 



