824 Sitzung der phys.-math. Classe v. 21. Nov. 1907. — Mittheilung v. 7. Nov. 
Nehmen wir an, das System bestehe aus zwei Werthen a,b. Wir 
können ansetzen: 
a)—b= (Fa) —a)e? 
und unter $(x) eine gebrochen-lineare Function von x verstehen, deren 
Unendlichkeitspunkt nicht im Innern von @ liegt. Dann wird (x) 
im Innern weder gleich a noch gleich db. Sind aber d,e irgend zwei 
von a,b verschiedene Grössen, so können wir die Coeffieienten von 
(x) in der Weise bestimmen, dass f(x.) = d, f(x.) = e wird. 
Ist dagegen die Anzahl der Grössen (a) grösser als 2, besteht 
z.B. das System aus drei Werthen a,b,c, so darf e nicht jeden be- 
liebigen von den (a) verschiedenen Werth haben, es darf speciell e 
den Punkten a nicht beliebig nahe liegen. 
Dieser Satz, dessen Beweis schon in meiner früheren Arbeit über 
den Pıcarn’schen Satz enthalten ist!, hängt eng mit dem Pıcarp’schen 
Theorem zusammen. Beschränken wir uns auf diejenigen Funetionen, 
die in der ganzen Ebene mit Ausnahme des unendlich fernen Punktes 
regulär sind. Der specielle Fall des Pıcarn’schen Satzes, der sich auf 
diese Funetionen bezieht, ergiebt sieh unmittelbar, wenn man die 
vorhin aufgestellte Behauptung als richtig ansieht. 
Denn es sei F(x) irgend eine in der ganzen Ebene, abgesehen 
von der Stelle ©o, reguläre Function, die die drei Werthe a,b, c nirgends 
annimmt, und dihr Werth im Punkte x,. Wir nehmen einen zweiten 
Punkt x, an und ziehen eine Linie, die die beiden Punkte &,, x, um- 
schliesst. Der Annahme nach giebt es eine positive Zahl d von der 
Art, dass jede Function f(x), die in @ regulär ist und die drei Werthe 
a,b, ce nicht annimmt, aber den Werth d im Punkte x,, der Bedingung 
I\/(@a)—a|>d genügt. Nun sei x’ ein beliebiger Punkt der Ebene. 
Wir bilden eine ganze lineare Function u von x, die für = «x, selbst 
gleich &,, für e=.x, dagegen gleich x” wird. Dann gehört nicht 
nur (x), sondern auch (x) = @G(x) zu den Functionen f(x). Es ist 
daher |@(x,)—a|>d. Da nun G(x,) = F(x’), x’ aber ein beliebiger 
Punkt der Ebene ist, so muss der Betrag von F(x)—a in der ganzen 
Ebene grösser als d sein. Dies ist natürlich nur möglich, wenn F(x) 
eine Constante ist. — 
Will man indess den allgemeinen Pıcarn’schen Satz beweisen, 
so genügt es nicht, zu wissen, dass d existirt, es muss eine Grösse 
dieser Art wirklich aufgestellt werden. Derjenige Werth d, der sich 
aus der früher von mir aufgestellten Formel ergiebt, ist so überaus 
! Über den Pıcarv’schen Satz und die Borer’schen Ungleichungen, Sitz. - Ber. 
1904. Satz 1V dieser Arbeit stellt jedenfalls eine Ungleichheitsbeziehung zwischen 
a,b,c,d,e dar. 
